Номер 6, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Найдите множество решений неравенства

$\log^2_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}} x - 2 \ge 0$.

Данное неравенство является квадратным относительно $ \log_{\frac{1}{4}} x $.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$$ x > 0 $$

2. Введём замену переменной.

Пусть $ t = \log_{\frac{1}{4}} x $. Тогда исходное неравенство примет вид:

$$ t^2 + t - 2 \ge 0 $$

3. Решим квадратное неравенство.

Найдём корни уравнения $ t^2 + t - 2 = 0 $. Используя теорему Виета, получаем:

$$ t_1 = -2, \quad t_2 = 1 $$

Графиком функции $ y = t^2 + t - 2 $ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $ t^2 + t - 2 \ge 0 $ выполняется, когда $ t $ находится за пределами корней, то есть:

$$ t \le -2 \quad \text{или} \quad t \ge 1 $$

4. Выполним обратную замену.

Получаем совокупность двух неравенств:

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \le -2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac{1}{4}} x \ge 1 $$

Решим каждое неравенство:

а) $ \log_{\frac{1}{4}} x \le -2 $

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \le \log_{\frac{1}{4}} \left(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\right) $$

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \le \log_{\frac{1}{4}} (16) $$

Так как основание логарифма $ \frac{1}{4} $ меньше 1 ($ 0 < \frac{1}{4} < 1 $), логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$ x \ge 16 $$

б) $ \log_{\frac{1}{4}} x \ge 1 $

Представим правую часть в виде логарифма:

$$ \log_{\frac{1}{4}} x \ge \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right) $$

Так как основание логарифма $ \frac{1}{4} < 1 $, знак неравенства также меняется на противоположный:

$$ x \le \frac{1}{4} $$

5. Учтём ОДЗ.

Мы получили, что $ x \ge 16 $ или $ x \le \frac{1}{4} $. Совместим это решение с ОДЗ ($ x > 0 $).

Первое условие $ x \ge 16 $ удовлетворяет ОДЗ.

Второе условие $ x \le \frac{1}{4} $ с учётом ОДЗ даёт $ 0 < x \le \frac{1}{4} $.

Объединяя полученные результаты, находим итоговое множество решений.

Ответ: $ x \in (0; \frac{1}{4}] \cup [16; +\infty) $.