Номер 5, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $36^x - (a-1) \cdot 6^x - 2a^2 + a = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение $36^x - (a-1) \cdot 6^x - 2a^2 + a = 0$ является показательным. Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция $y=6^x$ принимает только строго положительные значения для любого действительного $x$, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t^2 - (a-1)t - (2a^2 - a) = 0$

Исходное уравнение не имеет действительных корней $x$ в том и только в том случае, если это квадратное уравнение относительно $t$ не имеет положительных корней ($t > 0$). Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Квадратное уравнение имеет действительные корни, но все они неположительны (т.е. $t \le 0$).

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:

$D = (-(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 - a)) = (a-1)^2 + 4(2a^2 - a) = a^2 - 2a + 1 + 8a^2 - 4a = 9a^2 - 6a + 1$.

Полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:

$D = (3a-1)^2$

Поскольку $D = (3a-1)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях параметра $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Следовательно, первый случай (отсутствие действительных корней) невозможен.

Рассмотрим второй случай: все корни $t$ неположительны. Это означает, что $t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$.

Найдем корни уравнения для $t$, используя формулу корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-(a-1)) \pm \sqrt{(3a-1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{a-1 \pm |3a-1|}{2}$

Поскольку $\sqrt{k^2} = |k|$, мы можем записать $t = \frac{a-1 \pm (3a-1)}{2}$.

Вычислим оба корня:

$t_1 = \frac{a-1 + (3a-1)}{2} = \frac{4a-2}{2} = 2a-1$

$t_2 = \frac{a-1 - (3a-1)}{2} = \frac{a-1-3a+1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$

Чтобы исходное уравнение не имело решений, оба этих корня должны быть неположительными. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} t_1 \le 0 \\ t_2 \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a - 1 \le 0 \\ -a \le 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство, получаем:

$2a \le 1 \Rightarrow a \le \frac{1}{2}$

Решая второе неравенство, получаем:

$-a \le 0 \Rightarrow a \ge 0$

Пересечение решений этих двух неравенств дает итоговый интервал для параметра $a$:

$0 \le a \le \frac{1}{2}$

Таким образом, при $a \in [0; 0.5]$ квадратное уравнение для $t$ имеет только неположительные корни, а значит, исходное показательное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $a \in [0; 0.5]$.