Номер 5, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Решите уравнение:

1) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3;$

2) $\lg (2x - 3)^2 - 2\lg (3x - 2) = 2.$

1) $2\log_3 x = 2\log_x 3 + 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Таким образом, $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

Тогда $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$. Подставим это в исходное уравнение:

$2\log_3 x = 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$2y = \frac{2}{y} + 3$

Умножим обе части уравнения на $y$, при условии что $y \neq 0$ (что соответствует $x \neq 1$ из ОДЗ):

$2y^2 = 2 + 3y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $y = 2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x = 3^2 = 9$.

2. Если $y = -1/2$, то $\log_3 x = -1/2$, откуда $x = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Оба корня ($9$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Ответ: $9; \frac{\sqrt{3}}{3}$

2) $\lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} (2x - 3)^2 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $2x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{3}{2}$.

Из второго неравенства следует, что $3x > 2$, то есть $x > \frac{2}{3}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$.

Используем свойства логарифмов: $\log_b a^n = n \log_b a$ и $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$. Важно помнить, что $\lg(2x - 3)^2 = 2\lg|2x-3|$.

Уравнение можно переписать так:

$2\lg|2x - 3| - 2\lg(3x - 2) = 2$

Разделим обе части на 2:

$\lg|2x - 3| - \lg(3x - 2) = 1$

$\lg\left(\frac{|2x - 3|}{3x - 2}\right) = 1$

По определению десятичного логарифма ($\lg a = \log_{10} a$):

$\frac{|2x - 3|}{3x - 2} = 10^1 = 10$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $2x - 3 > 0$, то есть $x > \frac{3}{2}$.

$\frac{2x - 3}{3x - 2} = 10$

$2x - 3 = 10(3x - 2)$

$2x - 3 = 30x - 20$

$17 = 28x$

$x = \frac{17}{28}$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > \frac{3}{2}$ (так как $\frac{17}{28} < 1$, а $\frac{3}{2} = 1.5$), поэтому он является посторонним.

Случай 2: $2x - 3 < 0$, то есть $x < \frac{3}{2}$.

$\frac{-(2x - 3)}{3x - 2} = 10$

$\frac{3 - 2x}{3x - 2} = 10$

$3 - 2x = 10(3x - 2)$

$3 - 2x = 30x - 20$

$23 = 32x$

$x = \frac{23}{32}$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень условиям $x < \frac{3}{2}$ и ОДЗ $x > \frac{2}{3}$.

$\frac{2}{3} \approx 0.667$, $\frac{23}{32} \approx 0.719$, $\frac{3}{2} = 1.5$.

Так как $\frac{2}{3} < \frac{23}{32} < \frac{3}{2}$, корень $x = \frac{23}{32}$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $\frac{23}{32}$