Номер 8, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

8. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\log_7(x - a) = \log_7(4 - x)$ имеет решения?

Исходное уравнение $log_7(x - a) = log_7(4 - x)$ имеет решения тогда и только тогда, когда существует значение $x$, удовлетворяющее как самому уравнению, так и области допустимых значений (ОДЗ) логарифмической функции.

Область допустимых значений определяется тем, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это задает систему неравенств:

$$\begin{cases}x - a > 0 \\4 - x > 0\end{cases}$$

Из этой системы следует, что $x$ должен находиться в интервале $(a, 4)$:

$$\begin{cases}x > a \\x < 4\end{cases}$$

Для существования такого $x$ необходимо, чтобы левая граница интервала была меньше правой, то есть $a < 4$.

Теперь решим само уравнение. Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$x - a = 4 - x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а остальные — в правую:

$x + x = 4 + a$

$2x = 4 + a$

Выразим $x$ через параметр $a$:

$x = \frac{4 + a}{2}$

Чтобы исходное уравнение имело решение, найденное значение $x$ должно принадлежать области допустимых значений, то есть удовлетворять системе неравенств $x > a$ и $x < 4$.

Подставим найденное выражение для $x$ в эти неравенства:

1) $\frac{4 + a}{2} > a$

Умножим обе части на 2 (знак неравенства не изменится, так как 2 > 0):

$4 + a > 2a$

$4 > 2a - a$

$4 > a$, что равносильно $a < 4$.

2) $\frac{4 + a}{2} < 4$

Умножим обе части на 2:

$4 + a < 8$

$a < 8 - 4$

$a < 4$.

Оба неравенства приводят к одному и тому же условию: $a < 4$. Это означает, что если $a < 4$, то корень уравнения $x = \frac{4 + a}{2}$ существует и удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a \in (-\infty; 4)$.