Номер 2, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Решите уравнение:

1) $\log_8(3x + 4) = \log_8(x^2 - 4x - 14)$;

2) $\lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2$.

1)

Дано уравнение: $ \log_{8}(3x + 4) = \log_{8}(x^2 - 4x - 14) $.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы. Однако необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), так как аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Система уравнений и неравенств будет выглядеть так:

$ \begin{cases} 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 \\ 3x + 4 > 0 \\ x^2 - 4x - 14 > 0 \end{cases} $

Так как мы приравниваем выражения $ 3x + 4 $ и $ x^2 - 4x - 14 $, достаточно проверить только одно из неравенств. Выберем более простое:

$ 3x + 4 > 0 $

$ 3x > -4 $

$ x > -\frac{4}{3} $

Теперь решим уравнение:

$ 3x + 4 = x^2 - 4x - 14 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 4x - 3x - 14 - 4 = 0 $

$ x^2 - 7x - 18 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ $ x > -\frac{4}{3} $.

Для $ x_1 = 9 $: $ 9 > -\frac{4}{3} $. Это верно, следовательно, $ x = 9 $ является корнем уравнения.

Для $ x_2 = -2 $: $ -2 > -\frac{4}{3} $ (или $ -2 > -1.33... $). Это неверно, следовательно, $ x = -2 $ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $ 9 $

2)

Дано уравнение: $ \lg(2x - 3)^2 - 2\lg(3x - 2) = 2 $.

Здесь $ \lg $ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$ \begin{cases} (2x - 3)^2 > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства следует, что $ 2x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{3}{2} $.

Из второго неравенства следует, что $ 3x > 2 $, то есть $ x > \frac{2}{3} $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) $.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $ n \log_a b = \log_a b^n $ и $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:

$ \lg(2x - 3)^2 - \lg((3x - 2)^2) = 2 $

$ \lg\left(\frac{(2x - 3)^2}{(3x - 2)^2}\right) = 2 $

$ \lg\left(\left(\frac{2x - 3}{3x - 2}\right)^2\right) = 2 $

По определению десятичного логарифма, если $ \lg A = B $, то $ A = 10^B $.

$ \left(\frac{2x - 3}{3x - 2}\right)^2 = 10^2 $

$ \left(\frac{2x - 3}{3x - 2}\right)^2 = 100 $

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: $ \frac{2x - 3}{3x - 2} = 10 $

$ 2x - 3 = 10(3x - 2) $

$ 2x - 3 = 30x - 20 $

$ 20 - 3 = 30x - 2x $

$ 17 = 28x $

$ x_1 = \frac{17}{28} $

Случай 2: $ \frac{2x - 3}{3x - 2} = -10 $

$ 2x - 3 = -10(3x - 2) $

$ 2x - 3 = -30x + 20 $

$ 2x + 30x = 20 + 3 $

$ 32x = 23 $

$ x_2 = \frac{23}{32} $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x > \frac{2}{3} $).

Для $ x_1 = \frac{17}{28} $: Сравним $ \frac{17}{28} $ и $ \frac{2}{3} $. Приведем к общему знаменателю 84: $ \frac{17 \cdot 3}{84} = \frac{51}{84} $ и $ \frac{2 \cdot 28}{84} = \frac{56}{84} $. Так как $ \frac{51}{84} < \frac{56}{84} $, то $ \frac{17}{28} < \frac{2}{3} $. Этот корень не входит в ОДЗ.

Для $ x_2 = \frac{23}{32} $: Сравним $ \frac{23}{32} $ и $ \frac{2}{3} $. Приведем к общему знаменателю 96: $ \frac{23 \cdot 3}{96} = \frac{69}{96} $ и $ \frac{2 \cdot 32}{96} = \frac{64}{96} $. Так как $ \frac{69}{96} > \frac{64}{96} $, то $ \frac{23}{32} > \frac{2}{3} $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ (также очевидно, что $ \frac{23}{32} \neq \frac{3}{2} $).

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ \frac{23}{32} $