Номер 2, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Решите уравнение:

1) $2^x + 2^{x-3} = 72;$

2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63.$

1) $2^x + 2^{x-3} = 72$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и преобразуем второе слагаемое:

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{8} = 72$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 72$

Упростим выражение в скобках:

$2^x \left(\frac{8}{8} + \frac{1}{8}\right) = 72$

$2^x \cdot \frac{9}{8} = 72$

Теперь выразим $2^x$:

$2^x = 72 \cdot \frac{8}{9}$

Разделив 72 на 9, получаем 8:

$2^x = 8 \cdot 8$

$2^x = 64$

Представим 64 как степень двойки: $64 = 2^6$.

$2^x = 2^6$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x = 6$

Ответ: $x=6$

2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63$

Представим $9^x$ через основание 3. Так как $9 = 3^2$, то $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x = 63$

Это уравнение является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна, то должно выполняться условие $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2t = 63$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 63 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = 2$

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -63$

Подбором находим корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -7$.

Теперь вернемся к замене и учтем условие $t > 0$.

Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$, так как $3^x$ не может быть отрицательным числом. Следовательно, этот корень является посторонним.

Остается один корень: $t_1 = 9$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 9$

Представим 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

$3^x = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x = 2$

Ответ: $x=2$