Номер 3, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками

функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0.5x$.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0.5x$, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек будут пределами интегрирования. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{6}{x} = 4 - 0.5x$

Умножим обе части уравнения на $x$, предполагая, что $x \neq 0$ (что является условием существования функции $y = \frac{6}{x}$):

$6 = 4x - 0.5x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0.5x^2 - 4x + 6 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 2:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Это и есть пределы интегрирования.

Далее необходимо определить, какая из функций принимает большие значения на интервале $[2, 6]$, то есть какой график расположен выше. Для этого выберем любую пробную точку из этого интервала, например, $x = 3$, и сравним значения функций в этой точке:

Для функции $y = 4 - 0.5x$: $y(3) = 4 - 0.5 \cdot 3 = 4 - 1.5 = 2.5$

Для функции $y = \frac{6}{x}$: $y(3) = \frac{6}{3} = 2$

Поскольку $2.5 > 2$, на интервале $(2, 6)$ график прямой $y = 4 - 0.5x$ расположен выше графика гиперболы $y = \frac{6}{x}$.

Площадь $S$ искомой фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах от $a=2$ до $b=6$:

$S = \int_{2}^{6} \left( (4 - 0.5x) - \frac{6}{x} \right) dx$

Теперь вычислим этот интеграл. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int \left( 4 - 0.5x - \frac{6}{x} \right) dx = 4x - 0.5 \frac{x^2}{2} - 6 \ln|x| = 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln|x|$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$. Так как интервал интегрирования $[2, 6]$ содержит только положительные числа, знак модуля у натурального логарифма можно опустить.

$S = \left[ 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln x \right]_{2}^{6} = \left( 4(6) - \frac{6^2}{4} - 6 \ln(6) \right) - \left( 4(2) - \frac{2^2}{4} - 6 \ln(2) \right)$

$S = \left( 24 - \frac{36}{4} - 6 \ln(6) \right) - \left( 8 - \frac{4}{4} - 6 \ln(2) \right)$

$S = (24 - 9 - 6 \ln(6)) - (8 - 1 - 6 \ln(2))$

$S = (15 - 6 \ln(6)) - (7 - 6 \ln(2))$

$S = 15 - 7 - 6 \ln(6) + 6 \ln(2) = 8 - 6(\ln(6) - \ln(2))$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$, упростим выражение:

$S = 8 - 6 \ln\left(\frac{6}{2}\right) = 8 - 6 \ln(3)$

Ответ: $8 - 6 \ln(3)$.