Номер 7, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

7. Сколько решений в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение $2^{|x - 1|} = a - (x - 1)^2$?

Для определения количества решений уравнения в зависимости от параметра $a$ преобразуем его и воспользуемся графическим методом.

Исходное уравнение: $2^{|x-1|} = a - (x-1)^2$.

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:

$2^{|x-1|} + (x-1)^2 = a$

Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $t = x - 1$. Тогда уравнение примет вид:

$2^{|t|} + t^2 = a$

Количество решений исходного уравнения для $x$ совпадает с количеством решений этого уравнения для $t$, так как каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x$ ($x = t + 1$).

Рассмотрим функцию $f(t) = 2^{|t|} + t^2$. Задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $y=f(t)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Исследуем свойства функции $f(t)$:

• Четность. Функция является четной, так как $f(-t) = 2^{|-t|} + (-t)^2 = 2^{|t|} + t^2 = f(t)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат.
• Поведение при $t \ge 0$. На этом промежутке $|t| = t$, и функция имеет вид $f(t) = 2^t + t^2$. Найдем ее производную для $t > 0$: $f'(t) = (2^t + t^2)' = 2^t \ln 2 + 2t$. Поскольку при $t > 0$ оба слагаемых ($2^t \ln 2$ и $2t$) положительны, производная $f'(t) > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на промежутке $[0, \infty)$.
• Экстремумы. Так как функция $f(t)$ возрастает при $t \ge 0$ и является четной (т.е. убывает при $t \le 0$), точка $t=0$ является точкой глобального минимума. Минимальное значение функции: $f_{min} = f(0) = 2^{|0|} + 0^2 = 2^0 + 0 = 1$.
• Область значений. Область значений функции $E(f)$ — это промежуток $[1, \infty)$.

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения параметра $a$.

При $a < 1$

В этом случае прямая $y=a$ проходит ниже минимального значения функции $f(t)$. Графики $y=f(t)$ и $y=a$ не пересекаются, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

При $a = 1$

В этом случае прямая $y=a$ касается графика функции $y=f(t)$ в точке ее минимума $(0, 1)$. Уравнение имеет единственное решение $t=0$, что соответствует $x-1=0$, то есть $x=1$.

Ответ: одно решение.

При $a > 1$

В этом случае прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(t)$ в двух точках. Так как функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, \infty)$, а также в силу симметрии, будет одно решение $t_1 < 0$ и одно решение $t_2 = -t_1 > 0$. Каждому из этих двух значений $t$ соответствует одно значение $x$.

Ответ: два решения.