Номер 5, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $2 \leq |z + 3i| < 4$.

Данное условие $2 \le |z + 3i| < 4$ определяет множество точек $z$ на комплексной плоскости.

Геометрический смысл выражения $|z_1 - z_2|$ — это расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z_1$ и $z_2$. Преобразуем выражение в неравенстве: $|z + 3i| = |z - (-3i)|$. Это означает расстояние от переменной точки $z$ до фиксированной точки $z_0 = -3i$. На комплексной плоскости точка $z_0$ имеет координаты $(0, -3)$.

Таким образом, неравенство $2 \le |z - (-3i)| < 4$ задает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $(0, -3)$ не меньше 2, но строго меньше 4.

Это множество представляет собой кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $C(0, -3)$.

Левая часть двойного неравенства, $|z + 3i| \ge 2$, задает область, включающую окружность радиусом $R_1=2$ с центром в $C(0, -3)$ и все точки вне этой окружности. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сама окружность является частью искомого множества.

Правая часть двойного неравенства, $|z + 3i| < 4$, задает область внутри окружности радиусом $R_2=4$ с тем же центром $C(0, -3)$. Так как неравенство строгое ($<$), сама окружность не является частью искомого множества.

Искомое множество является пересечением этих двух областей. Это кольцо, где внутренняя граница (окружность радиусом 2) принадлежит множеству, а внешняя граница (окружность радиусом 4) не принадлежит множеству. При изображении на плоскости внутренняя граница рисуется сплошной линией, а внешняя — пунктирной.

Алгебраически, если представить $z = x + yi$, то $|z + 3i| = |x + yi + 3i| = |x + (y+3)i| = \sqrt{x^2 + (y+3)^2}$. Неравенство принимает вид $2 \le \sqrt{x^2 + (y+3)^2} < 4$. Возведя все части в квадрат (что является эквивалентным преобразованием, так как все части неотрицательны), получаем $4 \le x^2 + (y+3)^2 < 16$, что и является аналитическим заданием указанного кольца.

Ответ: Искомое множество чисел $z$ на комплексной плоскости представляет собой кольцо с центром в точке $(0, -3)$, ограниченное двумя окружностями. Внутренняя окружность радиусом $R_1=2$ включается в это множество, а внешняя окружность радиусом $R_2=4$ не включается.