Номер 1, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение:

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0;$

2) $\lg(x - 3) + \lg(x + 45) = 2;$

3) $\lg^2 10x - 6\lg x = 6;$

4) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3-4x)} = 1.$

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде:
$(6^x)^2 - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
В результате замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 9t + 18 = 0$
Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета:
Сумма корней $t_1 + t_2 = 9$.
Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 18$.
Подбором находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 3$, то $6^x = 3$. По определению логарифма, $x = \log_6 3$.
2. Если $t = 6$, то $6^x = 6^1$. Отсюда $x = 1$.
Ответ: $x = \log_6 3; x = 1$.

2) $\lg(x - 3) + \lg(x + 45) = 2$
Это логарифмическое уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 45 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -45 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 3$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\lg((x - 3)(x + 45)) = 2$
По определению десятичного логарифма (логарифма по основанию 10):
$(x - 3)(x + 45) = 10^2$
$(x - 3)(x + 45) = 100$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 45x - 3x - 135 = 100$
$x^2 + 42x - 235 = 0$
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-235) = 1764 + 940 = 2704 = 52^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 + 52}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 - 52}{2} = \frac{-94}{2} = -47$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 > 3$.
$x_2 = -47$ не удовлетворяет условию, так как $-47 \ngtr 3$. Этот корень является посторонним.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $x = 5$.

3) $\lg^2(10x) - 6\lg x = 6$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$\begin{cases} 10x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0$.
Используем свойство логарифма произведения $\lg(ab) = \lg a + \lg b$:
$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(1 + \lg x)^2 - 6\lg x = 6$
Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$.
$(1 + t)^2 - 6t = 6$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1 + 2t + t^2 - 6t - 6 = 0$
$t^2 - 4t - 5 = 0$
Найдем корни по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 4$
$t_1 \cdot t_2 = -5$
Получаем корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 5$, то $\lg x = 5 \implies x = 10^5 = 100000$.
2. Если $t = -1$, то $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.
Оба корня ($100000$ и $0.1$) положительны и, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = 100000; x = 0.1$.

4) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3 - 4x)} = 1$
Найдем ОДЗ, учитывая, что аргументы логарифмов должны быть положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$\begin{cases} -x > 0 \\ -3 - 4x > 0 \\ \log_3(-3 - 4x) \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ -4x > 3 \\ -3 - 4x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x < -3/4 \\ -4x \neq 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3/4 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -3/4)$.
Преобразуем уравнение, умножив обе части на знаменатель (на ОДЗ он не равен нулю):
$2\log_3(-x) = \log_3(-3 - 4x)$
Используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a(b^n)$:
$\log_3((-x)^2) = \log_3(-3 - 4x)$
$\log_3(x^2) = \log_3(-3 - 4x)$
Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять их аргументы:
$x^2 = -3 - 4x$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Найдем корни по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Получаем корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
$x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при $x = -1$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль.
$x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < -3/4$ и $-3 \neq -1$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $x = -3$.