Номер 5, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $|2 + z - i| = |z - 2|$.

Для нахождения и изображения на комплексной плоскости множества чисел $z$, удовлетворяющих условию $|2 + z - i| = |z - 2|$, можно использовать алгебраический или геометрический подход.

1. Алгебраический способ

Представим комплексное число $z$ в виде $z = x + yi$, где $x$ и $y$ — действительные числа, соответствующие осям Re(z) и Im(z) на комплексной плоскости. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$|2 + (x + yi) - i| = |(x + yi) - 2|$

Сгруппируем действительные и мнимые части в выражениях под знаком модуля:
$|(x + 2) + (y - 1)i| = |(x - 2) + yi|$

По определению, модуль комплексного числа $|a + bi|$ равен $\sqrt{a^2 + b^2}$. Применим это определение к обеим частям нашего равенства:
$\sqrt{(x + 2)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + y^2$

Раскроем скобки:
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 4x + 4 + y^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($x^2$, $y^2$, $4$) в обеих частях уравнения:
$4x - 2y + 1 = -4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить окончательное уравнение:
$8x - 2y + 1 = 0$

Это линейное уравнение, которое на декартовой плоскости (и, соответственно, на комплексной плоскости) задает прямую. Его можно также записать в виде $y = 4x + \frac{1}{2}$.

2. Геометрический способ

Выражение $|z - z_1|$ геометрически означает расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_1$. Преобразуем исходное уравнение к этому виду:
$|z + 2 - i| = |z - 2|$
$|z - (-2 + i)| = |z - 2|$

Это равенство означает, что искомые точки $z$ находятся на одинаковом расстоянии от двух фиксированных точек на комплексной плоскости: $z_1 = -2 + i$ (координаты $(-2, 1)$) и $z_2 = 2$ (координаты $(2, 0)$).

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Таким образом, множество всех чисел $z$, удовлетворяющих условию, — это прямая, перпендикулярная отрезку между точками $(-2, 1)$ и $(2, 0)$ и проходящая через его середину.

Изображение на комплексной плоскости

Искомое множество — это прямая, заданная уравнением $y = 4x + \frac{1}{2}$. Для ее построения на комплексной плоскости, где горизонтальная ось — действительная (Re), а вертикальная — мнимая (Im), найдем две точки:

• Пересечение с мнимой осью (Im): полагаем $x = 0$, получаем $y = \frac{1}{2}$. Точка $(0, \frac{1}{2})$.
• Пересечение с действительной осью (Re): полагаем $y = 0$, получаем $8x + 1 = 0$, откуда $x = -\frac{1}{8}$. Точка $(-\frac{1}{8}, 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, получим графическое представление множества искомых чисел $z$.

Ответ: Множество всех чисел $z$, удовлетворяющих данному условию, представляет собой прямую на комплексной плоскости, заданную уравнением $8x - 2y + 1 = 0$ (или $y = 4x + \frac{1}{2}$), где $z = x + yi$. Геометрически это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $z_1 = -2 + i$ и $z_2 = 2$.