Номер 5, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Баскетболист, выполняя штрафной бросок, попадает в корзину с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что в серии из пяти бросков он попадёт:

1) не менее трёх раз;

2) менее двух раз?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события $k$ раз в $n$ независимых испытаниях. Формула выглядит так:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где:
$n$ – общее число испытаний (бросков), в нашем случае $n=5$.
$k$ – число успешных исходов (попаданий).
$p$ – вероятность успеха в одном испытании (попадания), $p=0,7$.
$q$ – вероятность неудачи в одном испытании (промаха), $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

1) не менее трёх раз;
Это означает, что баскетболист попадёт 3, 4 или 5 раз. Мы должны найти сумму вероятностей этих событий.
$P(k \ge 3) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$
Рассчитаем каждую вероятность отдельно:
Вероятность попасть ровно 3 раза:
$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2 = \frac{120}{6 \cdot 2} \cdot 0,343 \cdot 0,09 = 10 \cdot 0,343 \cdot 0,09 = 0,3087$
Вероятность попасть ровно 4 раза:
$P_5(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^{5-4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot (0,7)^4 \cdot (0,3)^1 = 5 \cdot 0,2401 \cdot 0,3 = 0,36015$
Вероятность попасть ровно 5 раз:
$P_5(5) = C_5^5 \cdot p^5 \cdot q^{5-5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} \cdot (0,7)^5 \cdot (0,3)^0 = 1 \cdot 0,16807 \cdot 1 = 0,16807$
Теперь сложим полученные вероятности:
$P(k \ge 3) = 0,3087 + 0,36015 + 0,16807 = 0,83692$
Ответ: 0,83692

2) менее двух раз?
Это означает, что баскетболист попадёт 0 или 1 раз. Мы должны найти сумму вероятностей этих событий.
$P(k < 2) = P_5(0) + P_5(1)$
Рассчитаем каждую вероятность отдельно:
Вероятность не попасть ни разу (попасть 0 раз):
$P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^{5-0} = \frac{5!}{0!(5-0)!} \cdot (0,7)^0 \cdot (0,3)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,00243 = 0,00243$
Вероятность попасть ровно 1 раз:
$P_5(1) = C_5^1 \cdot p^1 \cdot q^{5-1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} \cdot (0,7)^1 \cdot (0,3)^4 = 5 \cdot 0,7 \cdot 0,0081 = 0,02835$
Теперь сложим полученные вероятности:
$P(k < 2) = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078$
Ответ: 0,03078