Номер 6, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Изобразите на комплексной плоскости все числа, являющиеся корнями четвёртой степени из числа $z = -8 - 8\sqrt{3}i$.

Для того чтобы найти и изобразить на комплексной плоскости все корни четвертой степени из числа $z = -8 - 8\sqrt{3}i$, необходимо сначала представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$.

Сначала найдем модуль $r$ и аргумент $\phi$ числа $z$.
Модуль вычисляется по формуле: $|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a = -8$ и $b = -8\sqrt{3}$.
$r = \sqrt{(-8)^2 + (-8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{256} = 16$.

Аргумент $\phi$ находим из соотношений $\cos\phi = \frac{a}{r}$ и $\sin\phi = \frac{b}{r}$.
$\cos\phi = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$
$\sin\phi = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как и синус, и косинус отрицательны, угол $\phi$ находится в третьей четверти. Соответствующее значение угла: $\phi = \frac{4\pi}{3}$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$ имеет вид:
$z = 16\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right)$.

Корни четвертой степени ($n=4$) из числа $z$ находятся по формуле Муавра:
$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, 2, 3$.
Подставляя наши значения, получаем:
$w_k = \sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\frac{4\pi}{3} + 2\pi k}{4} + i\sin\frac{\frac{4\pi}{3} + 2\pi k}{4}\right) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}\right)\right)$.

Теперь вычислим каждый из четырех корней, подставляя значения $k$ от 0 до 3:

• При $k=0$: $w_0 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$.
• При $k=1$: $w_1 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i$.
• При $k=2$: $w_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right)\right) = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 - i\sqrt{3}$.
• При $k=3$: $w_3 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} - i$.

Изобразим найденные корни на комплексной плоскости. Все они лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[4]{16} = 2$. Они являются вершинами правильного четырехугольника (квадрата).

Ответ: Корнями четвертой степени из числа $z = -8 - 8\sqrt{3}i$ являются четыре числа: $w_0 = 1 + i\sqrt{3}$, $w_1 = -\sqrt{3} + i$, $w_2 = -1 - i\sqrt{3}$ и $w_3 = \sqrt{3} - i$. На комплексной плоскости эти числа расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в начале координат.