Номер 5, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. На рисунке 1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 2]$. Вычислите интеграл

$\int_{-1}^{2} f(x) dx$

Рис. 1

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ заключается в том, что его значение равно площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{2} f(x) dx$ найдем площадь фигуры под графиком функции $y=f(x)$ на промежутке от $x=-1$ до $x=2$. Эту фигуру можно разбить на две более простые геометрические фигуры: трапецию на отрезке $[-1, 0]$ и треугольник на отрезке $[0, 2]$.

1. Площадь трапеции на отрезке $[-1, 0]$

Сначала определим уравнение прямой, которой принадлежит график функции на отрезке $[-4, 0]$. Прямая проходит через точки $(-4, 0)$ и $(0, 4)$. Угловой коэффициент $k = \frac{4 - 0}{0 - (-4)} = 1$. Уравнение прямой: $y = x + 4$.

Найдем значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$, которые будут основаниями трапеции:

• $f(-1) = -1 + 4 = 3$
• $f(0) = 4$

Высота трапеции равна длине отрезка $[-1, 0]$, то есть $h = 0 - (-1) = 1$.

Площадь трапеции $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = \frac{a+b}{2}h = \frac{3+4}{2} \cdot 1 = \frac{7}{2} = 3.5$

2. Площадь треугольника на отрезке $[0, 2]$

На этом отрезке фигура представляет собой прямоугольный треугольник. Его основание лежит на оси $Ox$ и равно $2 - 0 = 2$. Высота треугольника равна значению функции в точке $x=0$, то есть $f(0) = 4$.

Площадь треугольника $S_2$ вычисляется по формуле: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

3. Вычисление интеграла

Значение интеграла равно сумме площадей трапеции и треугольника: $\int_{-1}^{2} f(x) dx = S_1 + S_2 = 3.5 + 4 = 7.5$

Ответ: 7.5