Номер 3, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=4-x^2$ и $y=2-x$.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4 - x^2$ и $y = 2 - x$, необходимо вычислить определенный интеграл разности этих функций в пределах их точек пересечения.

1. Нахождение пределов интегрирования.
Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем их уравнения: $$4 - x^2 = 2 - x$$ Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$x^2 - x + 2 - 4 = 0$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Эти значения являются пределами интегрирования: от $a = -1$ до $b = 2$.

2. Определение верхней и нижней функций.
На интервале $(-1, 2)$ нужно определить, какая из функций принимает большие значения. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$:
Для первой функции: $y_1 = 4 - 0^2 = 4$.
Для второй функции: $y_2 = 2 - 0 = 2$.
Так как $4 > 2$, на интервале $[-1, 2]$ график функции $y = 4 - x^2$ расположен выше графика функции $y = 2 - x$.

3. Вычисление площади.
Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле: $$S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{нижн}(x)) dx$$ Подставим наши данные: $$S = \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (2 - x)) dx$$ Упростим подынтегральное выражение: $$S = \int_{-1}^{2} (4 - x^2 - 2 + x) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$$ Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница: $$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2}$$ Вычислим значение в верхнем и нижнем пределах: $$S = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$$ $$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -(-\frac{1}{3}) + \frac{1}{2} - 2 \right)$$ $$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$$ $$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{2 + 3 - 12}{6} \right)$$ $$S = \left( \frac{18 - 8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)$$ $$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$$ Приведем к общему знаменателю: $$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6}$$ Сократим дробь: $$S = \frac{9}{2} = 4.5$$

Ответ: 4.5