Номер 1, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-2}^{-1} \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} dx;$

2) $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} - x \right) dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 5x \cos 3x dx.$

1)
Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{-1} \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} dx $ сначала преобразуем подынтегральную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:
$ \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} = \frac{4x^3}{x^4} + \frac{x}{x^4} - \frac{3}{x^4} = \frac{4}{x} + \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^4} = 4x^{-1} + x^{-3} - 3x^{-4} $
Теперь найдем первообразную для этого выражения, интегрируя каждое слагаемое:
$ F(x) = \int (4x^{-1} + x^{-3} - 3x^{-4}) dx = 4\int x^{-1} dx + \int x^{-3} dx - 3\int x^{-4} dx $
$ F(x) = 4\ln|x| + \frac{x^{-2}}{-2} - 3\frac{x^{-3}}{-3} = 4\ln|x| - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x^3} $
Далее применяем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $ с пределами интегрирования от -2 до -1:
$ \int_{-2}^{-1} \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} dx = [4\ln|x| - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x^3}]_{-2}^{-1} $
Вычисляем значение первообразной на верхнем пределе ($ x=-1 $):
$ F(-1) = 4\ln|-1| - \frac{1}{2(-1)^2} + \frac{1}{(-1)^3} = 4\ln(1) - \frac{1}{2} - 1 = 0 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} $
Вычисляем значение первообразной на нижнем пределе ($ x=-2 $):
$ F(-2) = 4\ln|-2| - \frac{1}{2(-2)^2} + \frac{1}{(-2)^3} = 4\ln(2) - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 4\ln(2) - \frac{2}{8} = 4\ln(2) - \frac{1}{4} $
Находим разность:
$ F(-1) - F(-2) = -\frac{3}{2} - (4\ln(2) - \frac{1}{4}) = -\frac{3}{2} - 4\ln(2) + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} - 4\ln(2) = -\frac{5}{4} - 4\ln(2) $
Ответ: $ -\frac{5}{4} - 4\ln(2) $

2)
Разобьем интеграл $ \int_{-1}^{4} (\frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} - x) dx $ на два интеграла:
$ \int_{-1}^{4} \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} dx - \int_{-1}^{4} x dx $
Найдем первообразную для каждого слагаемого. Для первого слагаемого $ \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} = \frac{3}{2}(3x+4)^{-1/2} $: $ \int \frac{3}{2}(3x+4)^{-1/2} dx = \sqrt{3x+4} $
Для второго слагаемого $ -x $: $ \int (-x) dx = -\frac{x^2}{2} $
Таким образом, общая первообразная равна $ F(x) = \sqrt{3x+4} - \frac{x^2}{2} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ [\sqrt{3x+4} - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{4} = (\sqrt{3 \cdot 4 + 4} - \frac{4^2}{2}) - (\sqrt{3 \cdot (-1) + 4} - \frac{(-1)^2}{2}) $
Вычислим значение выражения:
$ (\sqrt{12+4} - \frac{16}{2}) - (\sqrt{-3+4} - \frac{1}{2}) = (\sqrt{16} - 8) - (\sqrt{1} - \frac{1}{2}) = (4 - 8) - (1 - \frac{1}{2}) = -4 - \frac{1}{2} = -4.5 = -\frac{9}{2} $
Ответ: $ -\frac{9}{2} $

3)
Для вычисления интеграла $ \int_{\pi/8}^{\pi/2} \cos(5x)\cos(3x) dx $ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму:
$ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B)) $
Применив эту формулу, получаем:
$ \cos(5x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\cos(5x+3x) + \cos(5x-3x)) = \frac{1}{2}(\cos(8x) + \cos(2x)) $
Теперь интегрируем это выражение:
$ \int \frac{1}{2}(\cos(8x) + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \int (\cos(8x) + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2}(\frac{\sin(8x)}{8} + \frac{\sin(2x)}{2}) = \frac{\sin(8x)}{16} + \frac{\sin(2x)}{4} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ [\frac{\sin(8x)}{16} + \frac{\sin(2x)}{4}]_{\pi/8}^{\pi/2} $
Вычисляем значение на верхнем пределе ($ x = \pi/2 $):
$ \frac{\sin(8 \cdot \frac{\pi}{2})}{16} + \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2})}{4} = \frac{\sin(4\pi)}{16} + \frac{\sin(\pi)}{4} = \frac{0}{16} + \frac{0}{4} = 0 $
Вычисляем значение на нижнем пределе ($ x = \pi/8 $):
$ \frac{\sin(8 \cdot \frac{\pi}{8})}{16} + \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8})}{4} = \frac{\sin(\pi)}{16} + \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{4} = \frac{0}{16} + \frac{\sqrt{2}/2}{4} = \frac{\sqrt{2}}{8} $
Находим разность:
$ 0 - \frac{\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{8} $
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{8} $