Страница 54 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-2}^{-1} \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} dx;$

2) $\int_{-1}^{4} \left( \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} - x \right) dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 5x \cos 3x dx.$

1)
Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{-1} \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} dx $ сначала преобразуем подынтегральную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно:
$ \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} = \frac{4x^3}{x^4} + \frac{x}{x^4} - \frac{3}{x^4} = \frac{4}{x} + \frac{1}{x^3} - \frac{3}{x^4} = 4x^{-1} + x^{-3} - 3x^{-4} $
Теперь найдем первообразную для этого выражения, интегрируя каждое слагаемое:
$ F(x) = \int (4x^{-1} + x^{-3} - 3x^{-4}) dx = 4\int x^{-1} dx + \int x^{-3} dx - 3\int x^{-4} dx $
$ F(x) = 4\ln|x| + \frac{x^{-2}}{-2} - 3\frac{x^{-3}}{-3} = 4\ln|x| - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x^3} $
Далее применяем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $ с пределами интегрирования от -2 до -1:
$ \int_{-2}^{-1} \frac{4x^3 + x - 3}{x^4} dx = [4\ln|x| - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x^3}]_{-2}^{-1} $
Вычисляем значение первообразной на верхнем пределе ($ x=-1 $):
$ F(-1) = 4\ln|-1| - \frac{1}{2(-1)^2} + \frac{1}{(-1)^3} = 4\ln(1) - \frac{1}{2} - 1 = 0 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} $
Вычисляем значение первообразной на нижнем пределе ($ x=-2 $):
$ F(-2) = 4\ln|-2| - \frac{1}{2(-2)^2} + \frac{1}{(-2)^3} = 4\ln(2) - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 4\ln(2) - \frac{2}{8} = 4\ln(2) - \frac{1}{4} $
Находим разность:
$ F(-1) - F(-2) = -\frac{3}{2} - (4\ln(2) - \frac{1}{4}) = -\frac{3}{2} - 4\ln(2) + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} - 4\ln(2) = -\frac{5}{4} - 4\ln(2) $
Ответ: $ -\frac{5}{4} - 4\ln(2) $

2)
Разобьем интеграл $ \int_{-1}^{4} (\frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} - x) dx $ на два интеграла:
$ \int_{-1}^{4} \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} dx - \int_{-1}^{4} x dx $
Найдем первообразную для каждого слагаемого. Для первого слагаемого $ \frac{3}{2\sqrt{3x + 4}} = \frac{3}{2}(3x+4)^{-1/2} $: $ \int \frac{3}{2}(3x+4)^{-1/2} dx = \sqrt{3x+4} $
Для второго слагаемого $ -x $: $ \int (-x) dx = -\frac{x^2}{2} $
Таким образом, общая первообразная равна $ F(x) = \sqrt{3x+4} - \frac{x^2}{2} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ [\sqrt{3x+4} - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{4} = (\sqrt{3 \cdot 4 + 4} - \frac{4^2}{2}) - (\sqrt{3 \cdot (-1) + 4} - \frac{(-1)^2}{2}) $
Вычислим значение выражения:
$ (\sqrt{12+4} - \frac{16}{2}) - (\sqrt{-3+4} - \frac{1}{2}) = (\sqrt{16} - 8) - (\sqrt{1} - \frac{1}{2}) = (4 - 8) - (1 - \frac{1}{2}) = -4 - \frac{1}{2} = -4.5 = -\frac{9}{2} $
Ответ: $ -\frac{9}{2} $

3)
Для вычисления интеграла $ \int_{\pi/8}^{\pi/2} \cos(5x)\cos(3x) dx $ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму:
$ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B)) $
Применив эту формулу, получаем:
$ \cos(5x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\cos(5x+3x) + \cos(5x-3x)) = \frac{1}{2}(\cos(8x) + \cos(2x)) $
Теперь интегрируем это выражение:
$ \int \frac{1}{2}(\cos(8x) + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \int (\cos(8x) + \cos(2x)) dx = \frac{1}{2}(\frac{\sin(8x)}{8} + \frac{\sin(2x)}{2}) = \frac{\sin(8x)}{16} + \frac{\sin(2x)}{4} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ [\frac{\sin(8x)}{16} + \frac{\sin(2x)}{4}]_{\pi/8}^{\pi/2} $
Вычисляем значение на верхнем пределе ($ x = \pi/2 $):
$ \frac{\sin(8 \cdot \frac{\pi}{2})}{16} + \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2})}{4} = \frac{\sin(4\pi)}{16} + \frac{\sin(\pi)}{4} = \frac{0}{16} + \frac{0}{4} = 0 $
Вычисляем значение на нижнем пределе ($ x = \pi/8 $):
$ \frac{\sin(8 \cdot \frac{\pi}{8})}{16} + \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8})}{4} = \frac{\sin(\pi)}{16} + \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{4} = \frac{0}{16} + \frac{\sqrt{2}/2}{4} = \frac{\sqrt{2}}{8} $
Находим разность:
$ 0 - \frac{\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{8} $
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{8} $

2. Найдите первообразную функции $f(x) = 4x^3 - 2x + 3$, график которой проходит через точку $A(1; -2)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ необходимо вычислить ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 4x^3 - 2x + 3$ находится по правилам интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (4x^3 - 2x + 3) dx$

Применяя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^4 - x^2 + 3x + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования. Мы получили семейство всех первообразных для функции $f(x)$.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $A(1; -2)$. Это значит, что при $x=1$ значение функции $F(x)$ должно быть равно $-2$, то есть $F(1) = -2$. Подставим эти значения в полученное выражение для $F(x)$, чтобы найти конкретное значение константы $C$:

$F(1) = 1^4 - 1^2 + 3 \cdot 1 + C = -2$

$1 - 1 + 3 + C = -2$

$3 + C = -2$

$C = -2 - 3$

$C = -5$

Теперь подставим найденное значение $C = -5$ в общий вид первообразной:

$F(x) = x^4 - x^2 + 3x - 5$

Ответ: $F(x) = x^4 - x^2 + 3x - 5$

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=4-x^2$ и $y=2-x$.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 4 - x^2$ и $y = 2 - x$, необходимо вычислить определенный интеграл разности этих функций в пределах их точек пересечения.

1. Нахождение пределов интегрирования.
Чтобы найти точки пересечения графиков, приравняем их уравнения: $$4 - x^2 = 2 - x$$ Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$x^2 - x + 2 - 4 = 0$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Эти значения являются пределами интегрирования: от $a = -1$ до $b = 2$.

2. Определение верхней и нижней функций.
На интервале $(-1, 2)$ нужно определить, какая из функций принимает большие значения. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$:
Для первой функции: $y_1 = 4 - 0^2 = 4$.
Для второй функции: $y_2 = 2 - 0 = 2$.
Так как $4 > 2$, на интервале $[-1, 2]$ график функции $y = 4 - x^2$ расположен выше графика функции $y = 2 - x$.

3. Вычисление площади.
Площадь $S$ фигуры вычисляется по формуле: $$S = \int_{a}^{b} (f_{верх}(x) - f_{нижн}(x)) dx$$ Подставим наши данные: $$S = \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (2 - x)) dx$$ Упростим подынтегральное выражение: $$S = \int_{-1}^{2} (4 - x^2 - 2 + x) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$$ Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница: $$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-1}^{2}$$ Вычислим значение в верхнем и нижнем пределах: $$S = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$$ $$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -(-\frac{1}{3}) + \frac{1}{2} - 2 \right)$$ $$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$$ $$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{2 + 3 - 12}{6} \right)$$ $$S = \left( \frac{18 - 8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)$$ $$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$$ Приведем к общему знаменателю: $$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6}$$ Сократим дробь: $$S = \frac{9}{2} = 4.5$$

Ответ: 4.5

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^4$ и $y = x$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением фигуры вокруг оси абсцисс, необходимо использовать метод дисков (или шайб). Фигура ограничена графиками функций $y = x^4$ и $y = x$.

Сначала найдем точки пересечения этих двух графиков, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем выражения для $y$:
$x^4 = x$
$x^4 - x = 0$
$x(x^3 - 1) = 0$
Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования, от $a = 0$ до $b = 1$.

На интервале $(0, 1)$ график функции $y = x$ лежит выше графика функции $y = x^4$. Например, при $x = 0.5$, имеем $y = 0.5$ и $y = (0.5)^4 = 0.0625$, где $0.5 > 0.0625$.

Объём тела вращения находится как разность объёмов двух тел: тела, образованного вращением криволинейной трапеции под графиком $y = x$, и тела, образованного вращением криволинейной трапеции под графиком $y = x^4$. Формула для объёма тела вращения (метод шайб):
$V = \pi \int_a^b (R(x)^2 - r(x)^2)dx$
где $R(x)$ — внешний радиус (график верхней функции), а $r(x)$ — внутренний радиус (график нижней функции). В нашем случае $R(x) = x$ и $r(x) = x^4$.

Подставляем наши функции и пределы интегрирования в формулу:
$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^4)^2)dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^8)dx$

Теперь вычислим этот определённый интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^9}{9} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^3}{3} - \frac{1^9}{9}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^9}{9}) \right)$
$V = \pi \left( (\frac{1}{3} - \frac{1}{9}) - 0 \right)$
$V = \pi \left( \frac{3}{9} - \frac{1}{9} \right)$
$V = \pi \frac{2}{9} = \frac{2\pi}{9}$

Таким образом, объём тела, образованного вращением, равен $\frac{2\pi}{9}$ кубических единиц.

Ответ: $V = \frac{2\pi}{9}$

5. На рисунке 1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 2]$. Вычислите интеграл

$\int_{-1}^{2} f(x) dx$

Рис. 1

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ заключается в том, что его значение равно площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{2} f(x) dx$ найдем площадь фигуры под графиком функции $y=f(x)$ на промежутке от $x=-1$ до $x=2$. Эту фигуру можно разбить на две более простые геометрические фигуры: трапецию на отрезке $[-1, 0]$ и треугольник на отрезке $[0, 2]$.

1. Площадь трапеции на отрезке $[-1, 0]$

Сначала определим уравнение прямой, которой принадлежит график функции на отрезке $[-4, 0]$. Прямая проходит через точки $(-4, 0)$ и $(0, 4)$. Угловой коэффициент $k = \frac{4 - 0}{0 - (-4)} = 1$. Уравнение прямой: $y = x + 4$.

Найдем значения функции в точках $x=-1$ и $x=0$, которые будут основаниями трапеции:

• $f(-1) = -1 + 4 = 3$
• $f(0) = 4$

Высота трапеции равна длине отрезка $[-1, 0]$, то есть $h = 0 - (-1) = 1$.

Площадь трапеции $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = \frac{a+b}{2}h = \frac{3+4}{2} \cdot 1 = \frac{7}{2} = 3.5$

2. Площадь треугольника на отрезке $[0, 2]$

На этом отрезке фигура представляет собой прямоугольный треугольник. Его основание лежит на оси $Ox$ и равно $2 - 0 = 2$. Высота треугольника равна значению функции в точке $x=0$, то есть $f(0) = 4$.

Площадь треугольника $S_2$ вычисляется по формуле: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$

3. Вычисление интеграла

Значение интеграла равно сумме площадей трапеции и треугольника: $\int_{-1}^{2} f(x) dx = S_1 + S_2 = 3.5 + 4 = 7.5$

Ответ: 7.5

6. Для функции $f(x) = \begin{cases} 4x, & x < 0, \\ \sin x, & x \ge 0 \end{cases}$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $A\left(\frac{\pi}{2}; 1\right).$

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ — это такая функция, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Важным свойством первообразной является её непрерывность на всей области определения.

Заданная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 4x, & x < 0 \\ \sin x, & x \ge 0 \end{cases}$

Для нахождения первообразной $F(x)$ необходимо проинтегрировать каждую часть функции $f(x)$ по отдельности.

1. При $x < 0$, имеем $f(x) = 4x$.
Находим интеграл: $\int 4x \,dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 2x^2 + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная.

2. При $x \ge 0$, имеем $f(x) = \sin x$.
Находим интеграл: $\int \sin x \,dx = -\cos x + C_2$, где $C_2$ — произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной $F(x)$ для данной функции: $F(x) = \begin{cases} 2x^2 + C_1, & x < 0 \\ -\cos x + C_2, & x \ge 0 \end{cases}$

Из условия задачи известно, что график первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{2}; 1)$. Это означает, что $F(\frac{\pi}{2}) = 1$. Так как значение аргумента $\frac{\pi}{2} \ge 0$, используем второе выражение для $F(x)$: $F(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C_2 = 1$. Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем: $-0 + C_2 = 1$, откуда $C_2 = 1$.

Теперь первообразная принимает вид: $F(x) = \begin{cases} 2x^2 + C_1, & x < 0 \\ -\cos x + 1, & x \ge 0 \end{cases}$

Для того чтобы $F(x)$ была первообразной на всей числовой оси, она должна быть непрерывной. Непрерывность нужно обеспечить в точке "стыковки" $x=0$. Для этого предел функции слева от $x=0$ должен быть равен значению функции в точке $x=0$ (которое также равно пределу справа). $\lim_{x \to 0^-} F(x) = F(0)$.

Вычислим предел слева: $\lim_{x \to 0^-} (2x^2 + C_1) = 2(0)^2 + C_1 = C_1$.

Вычислим значение функции в точке $x=0$: $F(0) = -\cos(0) + 1 = -1 + 1 = 0$.

Приравнивая эти два значения, находим $C_1$: $C_1 = 0$.

Подставив найденные значения $C_1 = 0$ и $C_2 = 1$ в общее выражение для $F(x)$, получаем искомую первообразную.

Ответ: $F(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x < 0 \\ 1 - \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$