Страница 60 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x} dx;$

2) $\int_{0}^{6} \left(x + \frac{5}{\sqrt{0,5x + 1}}\right) dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} \sin 3x \sin x dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x} dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:
$\frac{2x^2 + x - 3}{x} = \frac{2x^2}{x} + \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = 2x + 1 - \frac{3}{x}$
Теперь найдем первообразную для полученного выражения: $\int (2x + 1 - \frac{3}{x}) dx = x^2 + x - 3\ln|x|$
Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$\int_{-4}^{-1} (2x + 1 - \frac{3}{x}) dx = (x^2 + x - 3\ln|x|) \Big|_{-4}^{-1}$
Подставим пределы интегрирования:
$F(-1) - F(-4) = ((-1)^2 + (-1) - 3\ln|-1|) - ((-4)^2 + (-4) - 3\ln|-4|)$
$= (1 - 1 - 3\ln(1)) - (16 - 4 - 3\ln(4))$
$= (0 - 3 \cdot 0) - (12 - 3\ln(4)) = 0 - (12 - 3\ln(4)) = -12 + 3\ln(4)$

Ответ: $-12 + 3\ln(4)$

2) Интеграл $\int_{0}^{6} (x + \frac{5}{\sqrt{0.5x + 1}}) dx$ можно представить в виде суммы двух интегралов:
$\int_{0}^{6} x dx + \int_{0}^{6} \frac{5}{\sqrt{0.5x + 1}} dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{0}^{6} x dx = \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{6} = \frac{6^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{36}{2} - 0 = 18$
Для вычисления второго интеграла $5 \int_{0}^{6} (0.5x + 1)^{-1/2} dx$ найдем его первообразную:
$\int 5(0.5x + 1)^{-1/2} dx = 5 \cdot \frac{(0.5x + 1)^{1/2}}{0.5 \cdot (1/2)} + C = 5 \cdot \frac{\sqrt{0.5x + 1}}{0.25} + C = 20\sqrt{0.5x + 1} + C$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$5 \int_{0}^{6} (0.5x + 1)^{-1/2} dx = 20\sqrt{0.5x + 1} \Big|_{0}^{6}$
$= 20\sqrt{0.5 \cdot 6 + 1} - 20\sqrt{0.5 \cdot 0 + 1} = 20\sqrt{3+1} - 20\sqrt{1} = 20\sqrt{4} - 20 = 20 \cdot 2 - 20 = 40 - 20 = 20$
Сложим результаты вычислений двух интегралов:
$18 + 20 = 38$

Ответ: $38$

3) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} \sin(3x)\sin(x) dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$
Применим эту формулу к подынтегральному выражению, где $A=3x$ и $B=x$:
$\sin(3x)\sin(x) = \frac{1}{2}(\cos(3x-x) - \cos(3x+x)) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x))$
Теперь интеграл принимает вид:
$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}} (\cos(2x) - \cos(4x)) dx$
Найдем первообразную для выражения в скобках:
$\int (\cos(2x) - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x)$
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{5\pi}{12}}$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2}\sin(2\frac{5\pi}{12}) - \frac{1}{4}\sin(4\frac{5\pi}{12}) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(2\frac{\pi}{12}) - \frac{1}{4}\sin(4\frac{\pi}{12}) \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{4}\sin(\frac{5\pi}{3}) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{4}\sin(\frac{\pi}{3}) \right) \right]$
Подставим табличные значения синусов: $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \left( \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2\sqrt{3}}{8} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$

2. Найдите первообразную функции $f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7$, график которой проходит через точку $A(1; -4)$.

Первообразная функции $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования. Общий вид первообразной для функции $f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 7$ будет:

$F(x) = \int (5x^4 + 3x^2 - 7)dx = 5\frac{x^{4+1}}{4+1} + 3\frac{x^{2+1}}{2+1} - 7x + C$

$F(x) = 5\frac{x^5}{5} + 3\frac{x^3}{3} - 7x + C$

$F(x) = x^5 + x^3 - 7x + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Чтобы найти ее значение, воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку $A(1; -4)$. Это значит, что при $x = 1$, значение $F(x)$ равно $-4$. Подставим эти значения в найденную формулу:

$F(1) = 1^5 + 1^3 - 7 \cdot 1 + C = -4$

$1 + 1 - 7 + C = -4$

$-5 + C = -4$

$C = -4 + 5$

$C = 1$

Теперь подставим найденное значение $C$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию:

$F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1$

Ответ: $F(x) = x^5 + x^3 - 7x + 1$

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$, первым шагом является нахождение точек пересечения этих графиков, которые определят пределы интегрирования. Для этого приравниваем выражения для $y$:

$x^2 + 1 = x + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корнями этого уравнения являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это и будут наши пределы интегрирования, от $a = -1$ до $b = 2$.

Далее необходимо определить, какая из функций находится выше на интервале $[-1, 2]$. Для этого можно взять любую точку из этого интервала, например, $x=0$, и подставить в оба уравнения:

Для $y = x^2 + 1$: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$.
Для $y = x + 3$: $y(0) = 0 + 3 = 3$.

Так как $3 > 1$, график прямой $y = x + 3$ расположен выше графика параболы $y = x^2 + 1$ на всем промежутке от $-1$ до $2$.

Площадь фигуры (S) вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:

$S = \int_{-1}^{2} \left( (x + 3) - (x^2 + 1) \right) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{-1}^{2} (x + 3 - x^2 - 1) dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 + x + 2) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = F(2) - F(-1) = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)$

$S = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{2+3-12}{6} \right)$

$S = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right)$

$S = \frac{18-8}{3} + \frac{7}{6} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6}$

Сократим дробь:

$S = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$.

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной прямой $y = 4x$ и графиком функции $y = x^3$ при $x \ge 0$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ (при условии $f(x) \ge g(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] dx$

1. Найдём пределы интегрирования

Чтобы найти границы фигуры, определим абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 4x$ и $y = x^3$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$4x = x^3$

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Согласно условию задачи, рассматривается область при $x \ge 0$. Следовательно, фигура ограничена на отрезке $[0, 2]$. Таким образом, пределы интегрирования: $a = 0$ и $b = 2$.

2. Определим, какая из функций является верхней

На отрезке $[0, 2]$ необходимо выяснить, какой график лежит выше. Для этого можно взять любую точку из интервала $(0, 2)$, например, $x = 1$:

Для $y = 4x$: $y(1) = 4 \cdot 1 = 4$.

Для $y = x^3$: $y(1) = 1^3 = 1$.

Так как $4 > 1$, на отрезке $[0, 2]$ график прямой $y = 4x$ расположен выше графика кубической параболы $y = x^3$. Это означает, что $f(x) = 4x$ (внешний радиус вращения) и $g(x) = x^3$ (внутренний радиус вращения).

3. Вычислим объём тела вращения

Подставим найденные пределы и функции в формулу для объёма:

$V = \pi \int_{0}^{2} [(4x)^2 - (x^3)^2] dx = \pi \int_{0}^{2} (16x^2 - x^6) dx$

Вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2}$

$V = \pi \left( \left( \frac{16 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^7}{7} \right) - \left( \frac{16 \cdot 0^3}{3} - \frac{0^7}{7} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{16 \cdot 8}{3} - \frac{128}{7} - 0 \right)$

$V = \pi \left( \frac{128}{3} - \frac{128}{7} \right)$

Приведём дроби к общему знаменателю 21:

$V = \pi \left( \frac{128 \cdot 7}{21} - \frac{128 \cdot 3}{21} \right) = \pi \left( \frac{896 - 384}{21} \right) = \frac{512\pi}{21}$

Ответ: $\frac{512\pi}{21}$.

5. На рисунке 2 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-2; 6]$. Вычислите интеграл

$\int_{-1}^{4} f(x) dx.$

Рис. 2

Определённый интеграл $ \int_{-1}^{4} f(x)dx $ численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=4$. Поскольку на данном промежутке график функции находится выше оси абсцисс, значение интеграла будет положительным.

Фигуру, площадь которой нам нужно найти, можно разбить на две трапеции вертикальной прямой $x=0$. Первая трапеция расположена на отрезке $[-1, 0]$, а вторая — на отрезке $[0, 4]$. Общая площадь, равная значению интеграла, будет равна сумме площадей этих двух трапеций.

Для вычисления площадей нам необходимо найти значения функции $f(x)$ в точках $x=-1$, $x=0$ и $x=4$. Для этого сначала найдем уравнения прямых, из которых состоит график.

На отрезке $[-2, 0]$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$. Уравнение этой прямой: $f(x) = 2x+4$. Тогда значение функции в точке $x=-1$ равно: $f(-1) = 2(-1) + 4 = 2$. Значение в точке $x=0$ равно $f(0)=4$.

На отрезке $[0, 6]$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(0, 4)$ и $(6, 0)$. Уравнение этой прямой: $f(x) = -\frac{2}{3}x+4$. Тогда значение функции в точке $x=4$ равно: $f(4) = -\frac{2}{3}(4) + 4 = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь вычислим площади трапеций. Площадь первой трапеции $S_1$ на отрезке $[-1, 0]$ с основаниями $f(-1)=2$ и $f(0)=4$ и высотой $h_1 = 0 - (-1) = 1$: $S_1 = \frac{f(-1) + f(0)}{2} \cdot h_1 = \frac{2 + 4}{2} \cdot 1 = 3$.

Площадь второй трапеции $S_2$ на отрезке $[0, 4]$ с основаниями $f(0)=4$ и $f(4)=\frac{4}{3}$ и высотой $h_2 = 4 - 0 = 4$: $S_2 = \frac{f(0) + f(4)}{2} \cdot h_2 = \frac{4 + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{16}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 4 = \frac{32}{3}$.

Значение интеграла равно сумме этих площадей: $ \int_{-1}^{4} f(x)dx = S_1 + S_2 = 3 + \frac{32}{3} = \frac{9}{3} + \frac{32}{3} = \frac{41}{3}$.

Ответ: $ \frac{41}{3} $

6. Для функции $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x < 0, \\ 6x, & x \ge 0 \end{cases}$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $A \left( -\frac{3\pi}{2}; 1 \right).$

Для нахождения первообразной $F(x)$ для кусочно-заданной функции $f(x)$, необходимо найти первообразные для каждой ее части.

1. На интервале $x < 0$ функция задана как $f(x) = \sin x$.
Ее первообразная имеет вид: $F_1(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C_1$, где $C_1$ – константа интегрирования.

2. На интервале $x \ge 0$ функция задана как $f(x) = 6x$.
Ее первообразная имеет вид: $F_2(x) = \int 6x \,dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 3x^2 + C_2$, где $C_2$ – константа интегрирования.

Таким образом, общий вид первообразной $F(x)$ для всей числовой оси: $F(x) = \begin{cases} -\cos x + C_1, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2 + C_2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Первообразная по определению является непрерывной функцией. Следовательно, функция $F(x)$ должна быть непрерывна в точке $x=0$, где "стыкуются" две ее части. Условие непрерывности в этой точке означает, что предел функции слева равен ее значению справа (и в самой точке): $\lim_{x \to 0-} F(x) = F(0)$.

Найдем предел слева: $\lim_{x \to 0-} (-\cos x + C_1) = -\cos(0) + C_1 = -1 + C_1$.

Найдем значение функции в точке $x=0$: $F(0) = 3(0)^2 + C_2 = C_2$.

Приравнивая эти два выражения, получаем связь между константами $C_1$ и $C_2$: $-1 + C_1 = C_2$, или $C_1 = C_2 + 1$.

Теперь мы можем выразить $F(x)$ через одну константу, например $C_2$: $F(x) = \begin{cases} -\cos x + C_2 + 1, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2 + C_2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $A\left(-\frac{3\pi}{2}; 1\right)$. Это означает, что $F\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 1$. Поскольку координата $x = -\frac{3\pi}{2} < 0$, для нахождения значения функции мы используем первую формулу: $F\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + C_2 + 1 = 1$.

Вычислим значение косинуса: $\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$. Подставим это значение в уравнение: $-0 + C_2 + 1 = 1$
$C_2 + 1 = 1$
$C_2 = 0$.

Зная $C_2$, найдем $C_1$: $C_1 = C_2 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Подставим найденные значения констант $C_1=1$ и $C_2=0$ в общее выражение для $F(x)$: $F(x) = \begin{cases} -\cos x + 1, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2 + 0, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Итак, искомая первообразная: $F(x) = \begin{cases} 1 - \cos x, & \text{если } x < 0 \\ 3x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $F(x) = \begin{cases} 1 - \cos x, & x < 0 \\ 3x^2, & x \ge 0 \end{cases}$