Страница 61 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. На координатной плоскости отметили начало координат $O(0; 0)$ и точку $B(3; -2)$. Задайте в алгебраической форме комплексное число, равное вектору $\vec{OB}$. Найдите модуль этого комплексного числа.

Задание комплексного числа в алгебраической форме

Каждому вектору на координатной плоскости, который начинается в начале координат $O(0; 0)$ и заканчивается в точке $B(x; y)$, можно поставить в соответствие комплексное число $z = x + yi$.

В данной задаче вектор $\overrightarrow{OB}$ имеет начало в точке $O(0; 0)$ и конец в точке $B(3; -2)$. Следовательно, его координаты равны $(3; -2)$.

Комплексное число, соответствующее этому вектору, имеет действительную часть $x = 3$ и мнимую часть $y = -2$. В алгебраической форме оно записывается как $z = 3 - 2i$.

Ответ: $3 - 2i$.

Нахождение модуля комплексного числа

Модуль комплексного числа $z = a + bi$ — это действительное неотрицательное число, которое вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Геометрически модуль равен длине соответствующего вектора.

Для найденного комплексного числа $z = 3 - 2i$ действительная часть $a=3$, а мнимая часть $b=-2$. Вычислим его модуль:

$|z| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$.

2. Дано: $z_1 = 5 - 7i$, $z_2 = -4 + 3i$, Вычислите:

1) $2z_1 + \bar{z_2}$;

2) $z_1z_2$;

3) $\frac{z_1}{z_2}$.

1) Для вычисления выражения $2z_1 + \overline{z_2}$ нам понадобятся исходные комплексные числа: $z_1 = 5 - 7i$ и $z_2 = -4 + 3i$.
Сначала найдем число, комплексно-сопряженное к $z_2$. Для этого нужно изменить знак у мнимой части:
$\overline{z_2} = \overline{-4 + 3i} = -4 - 3i$.
Далее, умножим число $z_1$ на 2:
$2z_1 = 2(5 - 7i) = 10 - 14i$.
Теперь сложим полученные результаты. Сложение комплексных чисел производится путем сложения их действительных и мнимых частей по отдельности:
$2z_1 + \overline{z_2} = (10 - 14i) + (-4 - 3i) = (10 - 4) + (-14 - 3)i = 6 - 17i$.
Ответ: $6 - 17i$.

2) Для вычисления произведения $z_1 z_2$ перемножим данные комплексные числа $z_1 = 5 - 7i$ и $z_2 = -4 + 3i$, используя правило раскрытия скобок (как для многочленов):
$z_1 z_2 = (5 - 7i)(-4 + 3i) = 5 \cdot (-4) + 5 \cdot 3i - 7i \cdot (-4) - 7i \cdot 3i$.
Выполним умножение:
$z_1 z_2 = -20 + 15i + 28i - 21i^2$.
Вспомним, что мнимая единица в квадрате равна -1, то есть $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение:
$z_1 z_2 = -20 + 15i + 28i - 21(-1) = -20 + 43i + 21$.
Приведем подобные слагаемые (сложим действительные части):
$z_1 z_2 = (-20 + 21) + 43i = 1 + 43i$.
Ответ: $1 + 43i$.

3) Для вычисления частного $\frac{z_1}{z_2}$ необходимо разделить $z_1 = 5 - 7i$ на $z_2 = -4 + 3i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5 - 7i}{-4 + 3i}$.
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на число, комплексно-сопряженное знаменателю. Комплексно-сопряженное к $z_2 = -4 + 3i$ это $\overline{z_2} = -4 - 3i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5 - 7i}{-4 + 3i} \cdot \frac{-4 - 3i}{-4 - 3i} = \frac{(5 - 7i)(-4 - 3i)}{(-4 + 3i)(-4 - 3i)}$.
Вычислим произведение в числителе:
$(5 - 7i)(-4 - 3i) = 5(-4) + 5(-3i) - 7i(-4) - 7i(-3i) = -20 - 15i + 28i + 21i^2 = -20 + 13i - 21 = -41 + 13i$.
Вычислим произведение в знаменателе, используя формулу $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$:
$(-4 + 3i)(-4 - 3i) = (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Подставим полученные значения обратно в дробь:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-41 + 13i}{25}$.
Запишем результат в алгебраической форме $a+bi$:
$\frac{z_1}{z_2} = -\frac{41}{25} + \frac{13}{25}i$.
Ответ: $-\frac{41}{25} + \frac{13}{25}i$.

3. Найдите значение выражения $z^8$, если

$z = -\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{32}\right) + i\sin\frac{3\pi}{32}\right)$.

Для того чтобы найти значение выражения $z^8$, сначала преобразуем данное комплексное число $z$.

Исходное выражение для $z$:

$z = -(\cos(-\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})$

Возведем это выражение в 8-ю степень:

$z^8 = \left[-(\cos(-\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right]^8$

Используя свойство степеней $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$z^8 = (-1)^8 \cdot \left(\cos(-\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right)^8$

Так как $(-1)^8 = 1$, а функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, мы можем упростить выражение:

$z^8 = 1 \cdot \left(\cos(\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right)^8 = \left(\cos(\frac{3\pi}{32}) + i\sin\frac{3\pi}{32})\right)^8$

Теперь комплексное число в скобках представлено в тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$ с модулем $r=1$ и аргументом $\phi = \frac{3\pi}{32}$. Для возведения его в степень $n=8$ воспользуемся формулой Муавра:

$(\cos\phi + i\sin\phi)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$

Применяя эту формулу, получаем:

$z^8 = \cos(8 \cdot \frac{3\pi}{32}) + i\sin(8 \cdot \frac{3\pi}{32})$

Вычислим новый аргумент:

$8 \cdot \frac{3\pi}{32} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$

Таким образом, выражение для $z^8$ принимает вид:

$z^8 = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})$

Теперь найдем числовые значения косинуса и синуса для угла $\frac{3\pi}{4}$:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляя эти значения, получаем окончательный результат:

$z^8 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Решите уравнение $z^2 - z + 8 = 0$ на множестве комплексных чисел.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $az^2 + bz + c = 0$, где $z$ — комплексная переменная, а коэффициенты $a, b, c$ — действительные числа. В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=8$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31$

Поскольку дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. В множестве комплексных чисел $\sqrt{-1}$ определяется как мнимая единица $i$. Следовательно, корень из дискриминанта будет:

$\sqrt{D} = \sqrt{-31} = \sqrt{31 \cdot (-1)} = \sqrt{31} \cdot \sqrt{-1} = i\sqrt{31}$

Теперь подставим значение дискриминанта и коэффициентов в формулу для нахождения корней:

$z = \frac{-(-1) \pm i\sqrt{31}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i\sqrt{31}}{2}$

Таким образом, мы получаем два комплексно-сопряженных корня:

$z_1 = \frac{1 + i\sqrt{31}}{2} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{31}}{2}$

$z_2 = \frac{1 - i\sqrt{31}}{2} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{31}}{2}$

Ответ: $z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{31}}{2}$, $z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{31}}{2}$.

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $|3 - z - 2i| = |z + 3|$.

Данное уравнение $|3 - z - 2i| = |z + 3|$ определяет на комплексной плоскости множество точек $z$, равноудаленных от двух некоторых фиксированных точек. Для нахождения этого множества можно использовать геометрический или алгебраический подход.

Геометрический метод

Преобразуем исходное уравнение к виду $|z - z_1| = |z - z_2|$. Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$.

Левая часть: $|3 - z - 2i| = |-(z - 3 + 2i)| = |z - (3 - 2i)|$.

Правая часть: $|z + 3| = |z - (-3)|$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$|z - (3 - 2i)| = |z - (-3)|$.

Это уравнение означает, что расстояние от точки $z$ до точки $z_1 = 3 - 2i$ равно расстоянию от точки $z$ до точки $z_2 = -3$.

Геометрически, множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек $A(3, -2)$ (соответствующей $z_1$) и $B(-3, 0)$ (соответствующей $z_2$), является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Найдем уравнение этого серединного перпендикуляра.

1. Найдем координаты середины отрезка $AB$, точки $M$:

$x_M = \frac{3 + (-3)}{2} = 0$

$y_M = \frac{-2 + 0}{2} = -1$

Точка $M$ имеет координаты $(0, -1)$.

2. Найдем угловой коэффициент прямой $AB$:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - (-2)}{-3 - 3} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

3. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_{\perp}$ должен удовлетворять условию перпендикулярности $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-1/3} = 3$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку $M(0, -1)$ с угловым коэффициентом $k_{\perp} = 3$, используя формулу $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$:

$y - (-1) = 3(x - 0)$

$y + 1 = 3x$

$y = 3x - 1$

Алгебраический метод

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = Re(z)$ и $y = Im(z)$ — действительные числа. Подставим это представление в исходное уравнение:

$|3 - (x + iy) - 2i| = |(x + iy) + 3|$

Сгруппируем действительные и мнимые части в каждом модуле:

$|(3 - x) - i(y + 2)| = |(x + 3) + iy|$

Воспользуемся определением модуля комплексного числа $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$\sqrt{(3 - x)^2 + (-(y + 2))^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

$(3 - x)^2 + (y + 2)^2 = (x + 3)^2 + y^2$

Раскроем скобки:

$9 - 6x + x^2 + y^2 + 4y + 4 = x^2 + 6x + 9 + y^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($x^2$, $y^2$, $9$) в обеих частях уравнения:

$-6x + 4y + 4 = 6x$

Приведем подобные слагаемые и выразим $y$ через $x$:

$4y = 6x + 6x - 4$

$4y = 12x - 4$

$y = 3x - 1$

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Искомое множество точек $z = x+iy$ на комплексной плоскости — это прямая, заданная уравнением $y = 3x - 1$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $A(3, -2)$ и $B(-3, 0)$. На комплексной плоскости оси абсцисс соответствует действительная ось $Re(z)$, а оси ординат — мнимая ось $Im(z)$.

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой прямую линию, заданную уравнением $Im(z) = 3 Re(z) - 1$.

6. Изобразите на комплексной плоскости все числа, являющиеся корнями пятой степени из числа $z = -16\sqrt{3} + 16i$.

Для того чтобы найти и изобразить все корни пятой степени из комплексного числа $z = -16\sqrt{3} + 16i$, необходимо сначала представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

1. Нахождение модуля $r$ и аргумента $\varphi$.

Модуль комплексного числа $z = x + yi$ вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

В нашем случае $x = -16\sqrt{3}$ и $y = 16$.

$r = \sqrt{(-16\sqrt{3})^2 + 16^2} = \sqrt{256 \cdot 3 + 256} = \sqrt{256(3+1)} = \sqrt{256 \cdot 4} = \sqrt{1024} = 32$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений:

$\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-16\sqrt{3}}{32} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Так как $\cos\varphi < 0$ и $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй координатной четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа $z$:

$z = 32 \left( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right)$.

2. Вычисление корней пятой степени.

Корни n-ой степени из комплексного числа вычисляются по формуле Муавра:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Для нашего случая $n=5$, $r=32$, $\varphi = \frac{5\pi}{6}$.

$w_k = \sqrt[5]{32} \left( \cos\left(\frac{\frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{5}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{5}\right) \right)$

$w_k = 2 \left( \cos\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{30}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi + 12\pi k}{30}\right) \right)$, где $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

3. Изображение на комплексной плоскости.

Все пять корней лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[5]{r} = \sqrt[5]{32} = 2$. Они являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Найдем аргументы для каждой вершины:

• При $k=0$: $\arg(w_0) = \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$)
• При $k=1$: $\arg(w_1) = \frac{5\pi + 12\pi}{30} = \frac{17\pi}{30}$ (или $102^\circ$)
• При $k=2$: $\arg(w_2) = \frac{5\pi + 24\pi}{30} = \frac{29\pi}{30}$ (или $174^\circ$)
• При $k=3$: $\arg(w_3) = \frac{5\pi + 36\pi}{30} = \frac{41\pi}{30}$ (или $246^\circ$)
• При $k=4$: $\arg(w_4) = \frac{5\pi + 48\pi}{30} = \frac{53\pi}{30}$ (или $318^\circ$)

Таким образом, на комплексной плоскости нужно начертить окружность радиуса 2 с центром в точке (0,0). Затем на этой окружности отметить пять точек, являющихся вершинами правильного пятиугольника. Первая точка ($w_0$) находится под углом $30^\circ$ к положительному направлению действительной оси (оси Re). Каждая следующая точка получается из предыдущей поворотом на угол $\frac{2\pi}{5} = 72^\circ$ против часовой стрелки.

Ответ: Искомые числа на комплексной плоскости — это вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Аргумент первой вершины равен $\frac{\pi}{6}$, а аргументы остальных вершин получаются последовательным добавлением угла $\frac{2\pi}{5}$.