Номер 2, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Дано: $z_1 = 5 - 7i$, $z_2 = -4 + 3i$, Вычислите:

1) $2z_1 + \bar{z_2}$;

2) $z_1z_2$;

3) $\frac{z_1}{z_2}$.

1) Для вычисления выражения $2z_1 + \overline{z_2}$ нам понадобятся исходные комплексные числа: $z_1 = 5 - 7i$ и $z_2 = -4 + 3i$.
Сначала найдем число, комплексно-сопряженное к $z_2$. Для этого нужно изменить знак у мнимой части:
$\overline{z_2} = \overline{-4 + 3i} = -4 - 3i$.
Далее, умножим число $z_1$ на 2:
$2z_1 = 2(5 - 7i) = 10 - 14i$.
Теперь сложим полученные результаты. Сложение комплексных чисел производится путем сложения их действительных и мнимых частей по отдельности:
$2z_1 + \overline{z_2} = (10 - 14i) + (-4 - 3i) = (10 - 4) + (-14 - 3)i = 6 - 17i$.
Ответ: $6 - 17i$.

2) Для вычисления произведения $z_1 z_2$ перемножим данные комплексные числа $z_1 = 5 - 7i$ и $z_2 = -4 + 3i$, используя правило раскрытия скобок (как для многочленов):
$z_1 z_2 = (5 - 7i)(-4 + 3i) = 5 \cdot (-4) + 5 \cdot 3i - 7i \cdot (-4) - 7i \cdot 3i$.
Выполним умножение:
$z_1 z_2 = -20 + 15i + 28i - 21i^2$.
Вспомним, что мнимая единица в квадрате равна -1, то есть $i^2 = -1$. Подставим это значение в выражение:
$z_1 z_2 = -20 + 15i + 28i - 21(-1) = -20 + 43i + 21$.
Приведем подобные слагаемые (сложим действительные части):
$z_1 z_2 = (-20 + 21) + 43i = 1 + 43i$.
Ответ: $1 + 43i$.

3) Для вычисления частного $\frac{z_1}{z_2}$ необходимо разделить $z_1 = 5 - 7i$ на $z_2 = -4 + 3i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5 - 7i}{-4 + 3i}$.
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на число, комплексно-сопряженное знаменателю. Комплексно-сопряженное к $z_2 = -4 + 3i$ это $\overline{z_2} = -4 - 3i$.
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5 - 7i}{-4 + 3i} \cdot \frac{-4 - 3i}{-4 - 3i} = \frac{(5 - 7i)(-4 - 3i)}{(-4 + 3i)(-4 - 3i)}$.
Вычислим произведение в числителе:
$(5 - 7i)(-4 - 3i) = 5(-4) + 5(-3i) - 7i(-4) - 7i(-3i) = -20 - 15i + 28i + 21i^2 = -20 + 13i - 21 = -41 + 13i$.
Вычислим произведение в знаменателе, используя формулу $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$:
$(-4 + 3i)(-4 - 3i) = (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Подставим полученные значения обратно в дробь:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-41 + 13i}{25}$.
Запишем результат в алгебраической форме $a+bi$:
$\frac{z_1}{z_2} = -\frac{41}{25} + \frac{13}{25}i$.
Ответ: $-\frac{41}{25} + \frac{13}{25}i$.