Номер 5, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. На рисунке 2 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-2; 6]$. Вычислите интеграл

$\int_{-1}^{4} f(x) dx.$

Рис. 2

Определённый интеграл $ \int_{-1}^{4} f(x)dx $ численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=-1$ и $x=4$. Поскольку на данном промежутке график функции находится выше оси абсцисс, значение интеграла будет положительным.

Фигуру, площадь которой нам нужно найти, можно разбить на две трапеции вертикальной прямой $x=0$. Первая трапеция расположена на отрезке $[-1, 0]$, а вторая — на отрезке $[0, 4]$. Общая площадь, равная значению интеграла, будет равна сумме площадей этих двух трапеций.

Для вычисления площадей нам необходимо найти значения функции $f(x)$ в точках $x=-1$, $x=0$ и $x=4$. Для этого сначала найдем уравнения прямых, из которых состоит график.

На отрезке $[-2, 0]$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$. Уравнение этой прямой: $f(x) = 2x+4$. Тогда значение функции в точке $x=-1$ равно: $f(-1) = 2(-1) + 4 = 2$. Значение в точке $x=0$ равно $f(0)=4$.

На отрезке $[0, 6]$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(0, 4)$ и $(6, 0)$. Уравнение этой прямой: $f(x) = -\frac{2}{3}x+4$. Тогда значение функции в точке $x=4$ равно: $f(4) = -\frac{2}{3}(4) + 4 = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь вычислим площади трапеций. Площадь первой трапеции $S_1$ на отрезке $[-1, 0]$ с основаниями $f(-1)=2$ и $f(0)=4$ и высотой $h_1 = 0 - (-1) = 1$: $S_1 = \frac{f(-1) + f(0)}{2} \cdot h_1 = \frac{2 + 4}{2} \cdot 1 = 3$.

Площадь второй трапеции $S_2$ на отрезке $[0, 4]$ с основаниями $f(0)=4$ и $f(4)=\frac{4}{3}$ и высотой $h_2 = 4 - 0 = 4$: $S_2 = \frac{f(0) + f(4)}{2} \cdot h_2 = \frac{4 + \frac{4}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{\frac{16}{3}}{2} \cdot 4 = \frac{8}{3} \cdot 4 = \frac{32}{3}$.

Значение интеграла равно сумме этих площадей: $ \int_{-1}^{4} f(x)dx = S_1 + S_2 = 3 + \frac{32}{3} = \frac{9}{3} + \frac{32}{3} = \frac{41}{3}$.

Ответ: $ \frac{41}{3} $