Номер 4, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной прямой $y = 4x$ и графиком функции $y = x^3$ при $x \ge 0$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ (при условии $f(x) \ge g(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] dx$

1. Найдём пределы интегрирования

Чтобы найти границы фигуры, определим абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 4x$ и $y = x^3$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$4x = x^3$

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Согласно условию задачи, рассматривается область при $x \ge 0$. Следовательно, фигура ограничена на отрезке $[0, 2]$. Таким образом, пределы интегрирования: $a = 0$ и $b = 2$.

2. Определим, какая из функций является верхней

На отрезке $[0, 2]$ необходимо выяснить, какой график лежит выше. Для этого можно взять любую точку из интервала $(0, 2)$, например, $x = 1$:

Для $y = 4x$: $y(1) = 4 \cdot 1 = 4$.

Для $y = x^3$: $y(1) = 1^3 = 1$.

Так как $4 > 1$, на отрезке $[0, 2]$ график прямой $y = 4x$ расположен выше графика кубической параболы $y = x^3$. Это означает, что $f(x) = 4x$ (внешний радиус вращения) и $g(x) = x^3$ (внутренний радиус вращения).

3. Вычислим объём тела вращения

Подставим найденные пределы и функции в формулу для объёма:

$V = \pi \int_{0}^{2} [(4x)^2 - (x^3)^2] dx = \pi \int_{0}^{2} (16x^2 - x^6) dx$

Вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2}$

$V = \pi \left( \left( \frac{16 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^7}{7} \right) - \left( \frac{16 \cdot 0^3}{3} - \frac{0^7}{7} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{16 \cdot 8}{3} - \frac{128}{7} - 0 \right)$

$V = \pi \left( \frac{128}{3} - \frac{128}{7} \right)$

Приведём дроби к общему знаменателю 21:

$V = \pi \left( \frac{128 \cdot 7}{21} - \frac{128 \cdot 3}{21} \right) = \pi \left( \frac{896 - 384}{21} \right) = \frac{512\pi}{21}$

Ответ: $\frac{512\pi}{21}$.