Номер 5, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $|3 - z - 2i| = |z + 3|$.

Данное уравнение $|3 - z - 2i| = |z + 3|$ определяет на комплексной плоскости множество точек $z$, равноудаленных от двух некоторых фиксированных точек. Для нахождения этого множества можно использовать геометрический или алгебраический подход.

Геометрический метод

Преобразуем исходное уравнение к виду $|z - z_1| = |z - z_2|$. Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$.

Левая часть: $|3 - z - 2i| = |-(z - 3 + 2i)| = |z - (3 - 2i)|$.

Правая часть: $|z + 3| = |z - (-3)|$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$|z - (3 - 2i)| = |z - (-3)|$.

Это уравнение означает, что расстояние от точки $z$ до точки $z_1 = 3 - 2i$ равно расстоянию от точки $z$ до точки $z_2 = -3$.

Геометрически, множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек $A(3, -2)$ (соответствующей $z_1$) и $B(-3, 0)$ (соответствующей $z_2$), является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Найдем уравнение этого серединного перпендикуляра.

1. Найдем координаты середины отрезка $AB$, точки $M$:

$x_M = \frac{3 + (-3)}{2} = 0$

$y_M = \frac{-2 + 0}{2} = -1$

Точка $M$ имеет координаты $(0, -1)$.

2. Найдем угловой коэффициент прямой $AB$:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - (-2)}{-3 - 3} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$.

3. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_{\perp}$ должен удовлетворять условию перпендикулярности $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-1/3} = 3$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку $M(0, -1)$ с угловым коэффициентом $k_{\perp} = 3$, используя формулу $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$:

$y - (-1) = 3(x - 0)$

$y + 1 = 3x$

$y = 3x - 1$

Алгебраический метод

Представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x = Re(z)$ и $y = Im(z)$ — действительные числа. Подставим это представление в исходное уравнение:

$|3 - (x + iy) - 2i| = |(x + iy) + 3|$

Сгруппируем действительные и мнимые части в каждом модуле:

$|(3 - x) - i(y + 2)| = |(x + 3) + iy|$

Воспользуемся определением модуля комплексного числа $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$\sqrt{(3 - x)^2 + (-(y + 2))^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

$(3 - x)^2 + (y + 2)^2 = (x + 3)^2 + y^2$

Раскроем скобки:

$9 - 6x + x^2 + y^2 + 4y + 4 = x^2 + 6x + 9 + y^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($x^2$, $y^2$, $9$) в обеих частях уравнения:

$-6x + 4y + 4 = 6x$

Приведем подобные слагаемые и выразим $y$ через $x$:

$4y = 6x + 6x - 4$

$4y = 12x - 4$

$y = 3x - 1$

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Искомое множество точек $z = x+iy$ на комплексной плоскости — это прямая, заданная уравнением $y = 3x - 1$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $A(3, -2)$ и $B(-3, 0)$. На комплексной плоскости оси абсцисс соответствует действительная ось $Re(z)$, а оси ординат — мнимая ось $Im(z)$.

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой прямую линию, заданную уравнением $Im(z) = 3 Re(z) - 1$.