Номер 5, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. Вероятность того, что футболист забьёт гол с одиннадцатиметрового штрафного удара, равна 0,8. Какова вероятность того, что в серии из пяти ударов он забьёт:

1) не менее четырёх голов;

2) менее трёх голов?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, так как проводятся независимые испытания (удары по воротам) с двумя возможными исходами (гол или промах) и постоянной вероятностью успеха.

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ – общее число испытаний (ударов);
• $k$ – число успешных исходов (забитых голов);
• $p$ – вероятность успеха в одном испытании (забить гол);
• $q$ – вероятность неудачи в одном испытании (не забить гол), $q = 1 - p$;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

По условию задачи:

• $n = 5$ (серия из пяти ударов)
• $p = 0,8$ (вероятность забить гол)
• $q = 1 - 0,8 = 0,2$ (вероятность не забить гол)

1) не менее четырёх голов;

Событие "не менее четырёх голов" означает, что футболист забьёт либо 4 гола, либо 5 голов. Вероятности этих двух несовместных событий нужно сложить.

$P(k \ge 4) = P_5(4) + P_5(5)$

Найдём вероятность забить ровно 4 гола:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^{5-4} = \frac{5!}{4!1!} \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^1 = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 0,4096$

Найдём вероятность забить ровно 5 голов:

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^{5-5} = \frac{5!}{5!0!} \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,32768 \cdot 1 = 0,32768$

Теперь сложим эти вероятности:

$P(k \ge 4) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728$

Ответ: 0,73728

2) менее трёх голов?

Событие "менее трёх голов" означает, что футболист забьёт 0, 1 или 2 гола. Вероятности этих трёх несовместных событий нужно сложить.

$P(k < 3) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2)$

Найдём вероятность не забить ни одного гола (забить 0 голов):

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,00032 = 0,00032$

Найдём вероятность забить ровно 1 гол:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^4 = 5 \cdot 0,8 \cdot 0,0016 = 0,0064$

Найдём вероятность забить ровно 2 гола:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 0,64 \cdot 0,008 = 10 \cdot 0,64 \cdot 0,008 = 0,0512$

Теперь сложим эти вероятности:

$P(k < 3) = 0,00032 + 0,0064 + 0,0512 = 0,05792$

Ответ: 0,05792