Номер 4, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 10\cos10x - \frac{1}{5}\sin\frac{x}{5}$, график которой проходит через точку $B \left(\frac{5\pi}{2}; -3\right)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, необходимо вычислить ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 10\cos{10x} - \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}}$ находится следующим образом:

$F(x) = \int (10\cos{10x} - \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}}) \,dx = \int 10\cos{10x} \,dx - \int \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}} \,dx$.

Воспользуемся табличными интегралами: $\int \cos(kx) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int \sin(kx) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

Для первого слагаемого ($k=10$):
$\int 10\cos{10x} \,dx = 10 \cdot \frac{1}{10}\sin{10x} = \sin{10x}$.

Для второго слагаемого ($k=\frac{1}{5}$):
$\int \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}} \,dx = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{1/5}\cos{\frac{x}{5}}) = \frac{1}{5} \cdot (-5\cos{\frac{x}{5}}) = -\cos{\frac{x}{5}}$.

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $C$:
$F(x) = \sin{10x} - (-\cos{\frac{x}{5}}) + C = \sin{10x} + \cos{\frac{x}{5}} + C$.

Это общий вид всех первообразных для функции $f(x)$. Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $B(\frac{5\pi}{2}; -3)$, нужно подставить координаты этой точки в уравнение $F(x)$ и найти значение $C$.

$F(\frac{5\pi}{2}) = -3$.

$-3 = \sin(10 \cdot \frac{5\pi}{2}) + \cos(\frac{1}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) + C$.

Упростим аргументы тригонометрических функций:
$10 \cdot \frac{5\pi}{2} = 25\pi$.
$\frac{1}{5} \cdot \frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Подставим упрощенные значения и вычислим:
$-3 = \sin(25\pi) + \cos(\frac{\pi}{2}) + C$.
Поскольку $\sin(25\pi) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$-3 = 0 + 0 + C$.
$C = -3$.

Теперь подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = \sin{10x} + \cos{\frac{x}{5}} - 3$.

Ответ: $F(x) = \sin{10x} + \cos{\frac{x}{5}} - 3$.