Номер 2, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \ge 136$;

2) $2\log_{0,7}x \le \log_{0,7}(9-8x)$.

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \geq 136$

Преобразуем выражение $2^{x-1}$ по свойству степеней: $2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$.

Подставим это в неравенство:

$11 \cdot 2^x - 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x \geq 136$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(11 - \frac{5}{2}\right) \geq 136$

Вычислим значение в скобках:

$11 - \frac{5}{2} = \frac{22}{2} - \frac{5}{2} = \frac{17}{2}$

Неравенство принимает вид:

$2^x \cdot \frac{17}{2} \geq 136$

Разделим обе части неравенства на $\frac{17}{2}$ (или умножим на $\frac{2}{17}$):

$2^x \geq 136 \cdot \frac{2}{17}$

$2^x \geq 8 \cdot 2$

$2^x \geq 16$

Представим 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$.

$2^x \geq 2^4$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$x \geq 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

2) $2\log_{0.7}x \leq \log_{0.7}(9-8x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 9 - 8x > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$9 > 8x$

$x < \frac{9}{8}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{9}{8})$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:

$\log_{0.7}x^2 \leq \log_{0.7}(9-8x)$

Основание логарифма $0.7$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 \geq 9-8x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 + 8x - 9 \geq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = -9$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.

Графиком функции $y=x^2+8x-9$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 8x - 9 \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{9}{8})$:

$\left( (-\infty; -9] \cup [1; +\infty) \right) \cap \left(0; \frac{9}{8}\right)$

Учитывая, что $\frac{9}{8} = 1.125$, пересечением является интервал $[1; \frac{9}{8})$.

Ответ: $x \in [1; \frac{9}{8})$.