Номер 7, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

7. Сколько решений в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение $2^{|x+2|} = a - (x+2)^2$?

Перепишем исходное уравнение $2^{|x+2|} = a - (x+2)^2$ в виде $2^{|x+2|} + (x+2)^2 = a$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x+2$. Тогда уравнение примет вид: $2^{|t|} + t^2 = a$.

Количество решений исходного уравнения для $x$ совпадает с количеством решений этого уравнения для $t$, так как каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x = t-2$.

Решим задачу графически. Для этого найдем количество точек пересечения графика функции $y = f(t) = 2^{|t|} + t^2$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(t) = 2^{|t|} + t^2$.

Функция является четной, так как $f(-t) = 2^{|-t|} + (-t)^2 = 2^{|t|} + t^2 = f(t)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

В силу четности, достаточно исследовать функцию при $t \ge 0$. На этом промежутке $|t| = t$, и функция принимает вид $f(t) = 2^t + t^2$.

Найдем производную функции при $t > 0$: $f'(t) = (2^t + t^2)' = 2^t \ln 2 + 2t$.

Так как при $t > 0$ слагаемые $2^t \ln 2$ и $2t$ строго положительны (поскольку $\ln 2 > 0$), то производная $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ строго возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Поскольку функция $f(t)$ возрастает на $[0; +\infty)$ и симметрична относительно оси Oy, то в точке $t=0$ она достигает своего минимума. Найдем минимальное значение функции: $f_{min} = f(0) = 2^{|0|} + 0^2 = 2^0 + 0 = 1$.

Таким образом, график функции $y=f(t)$ имеет наименьшее значение $y=1$ в точке $t=0$. Множество значений функции - это $[1; +\infty)$. Проанализируем количество решений в зависимости от значения параметра $a$.

При $a < 1$
Прямая $y=a$ проходит ниже минимального значения функции, поэтому точек пересечения с графиком нет.
Ответ: 0 решений.

При $a = 1$
Прямая $y=a$ касается графика функции в его точке минимума $(0, 1)$. Существует одна точка пересечения $t=0$. Этому значению $t$ соответствует $x = t-2 = -2$.
Ответ: 1 решение.

При $a > 1$
Прямая $y=a$ пересекает график функции в двух точках, симметричных относительно оси Oy, так как $a$ больше минимального значения функции. Это означает, что есть два различных корня $t_1 > 0$ и $t_2 = -t_1 < 0$. Каждому из этих двух значений $t$ соответствует единственное значение $x$.
Ответ: 2 решения.