Номер 3, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками

функций $y=\frac{8}{x}$ и $y=5-0,5x$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = 5 - 0,5x$, необходимо найти точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем правые части уравнений функций:

$\frac{8}{x} = 5 - 0,5x$

Умножим обе части уравнения на $x$, предполагая, что $x \neq 0$ (что верно, так как $x$ находится в знаменателе):

$8 = 5x - 0,5x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 - 5x + 8 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 2:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корнями являются:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Эти значения являются пределами интегрирования для вычисления площади.

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $f(x)$ и $g(x)$, на отрезке $[a, b]$ вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на этом отрезке.

Определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $(2, 8)$. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 4$:

Для $y_1 = 5 - 0,5x$: $y_1(4) = 5 - 0,5 \cdot 4 = 5 - 2 = 3$.

Для $y_2 = \frac{8}{x}$: $y_2(4) = \frac{8}{4} = 2$.

Поскольку $3 > 2$, на интервале $(2, 8)$ график прямой $y = 5 - 0,5x$ расположен выше графика гиперболы $y = \frac{8}{x}$.

Теперь составим определенный интеграл для вычисления площади $S$:

$S = \int_{2}^{8} \left( (5 - 0,5x) - \frac{8}{x} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (5 - 0,5x - \frac{8}{x}) dx = 5x - 0,5 \frac{x^2}{2} - 8 \ln|x| = 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln|x|$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница. Поскольку на отрезке $[2, 8]$ $x > 0$, знак модуля можно опустить.

$S = \left. \left( 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln(x) \right) \right|_{2}^{8} = \left( 5 \cdot 8 - \frac{8^2}{4} - 8 \ln(8) \right) - \left( 5 \cdot 2 - \frac{2^2}{4} - 8 \ln(2) \right)$

$S = \left( 40 - \frac{64}{4} - 8 \ln(8) \right) - \left( 10 - \frac{4}{4} - 8 \ln(2) \right)$

$S = (40 - 16 - 8 \ln(8)) - (10 - 1 - 8 \ln(2))$

$S = (24 - 8 \ln(8)) - (9 - 8 \ln(2))$

$S = 24 - 8 \ln(8) - 9 + 8 \ln(2) = 15 - 8 \ln(8) + 8 \ln(2)$

Используем свойства логарифмов: $8 \ln(8) = 8 \ln(2^3) = 8 \cdot 3 \ln(2) = 24 \ln(2)$.

$S = 15 - 24 \ln(2) + 8 \ln(2) = 15 - 16 \ln(2)$

Ответ: $15 - 16 \ln(2)$.