Страница 63 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение:

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0;$

2) $\log_4(x + 3) + \log_4(x + 15) = 3;$

3) $\lg^2 100x - 7\lg x = 8;$

4) $\frac{2\log_5(-x)}{\log_5(-7 - 8x)} = 1.$

1) $25^x - 8 \cdot 5^x + 15 = 0$

Это показательное уравнение. Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 8t + 15 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $5^x = t_1 \Rightarrow 5^x = 3$. Отсюда, по определению логарифма, $x = \log_5 3$.

2. $5^x = t_2 \Rightarrow 5^x = 5$. Отсюда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \log_5 3$.

2) $\log_4(x + 3) + \log_4(x + 15) = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 15 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > -15 \end{cases} \Rightarrow x > -3$

Воспользуемся свойством логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_4((x + 3)(x + 15)) = 3$

По определению логарифма:

$(x + 3)(x + 15) = 4^3$

$x^2 + 15x + 3x + 45 = 64$

$x^2 + 18x + 45 - 64 = 0$

$x^2 + 18x - 19 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -18$

$x_1 \cdot x_2 = -19$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -19$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -3$):

$x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > -3$.

$x_2 = -19$ не удовлетворяет условию, так как $-19 < -3$.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $x = 1$.

3) $\lg^2(100x) - 7\lg x = 8$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} 100x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0$

Используем свойство логарифма произведения: $\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$.

Подставим это в уравнение:

$(2 + \lg x)^2 - 7\lg x = 8$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$.

$(2 + t)^2 - 7t = 8$

$4 + 4t + t^2 - 7t - 8 = 0$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = -4$

Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. $\lg x = t_1 \Rightarrow \lg x = 4$. Отсюда $x = 10^4 = 10000$.

2. $\lg x = t_2 \Rightarrow \lg x = -1$. Отсюда $x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10000, x_2 = 0.1$.

4) $\frac{2\log_5(-x)}{\log_5(-7-8x)} = 1$

Найдем ОДЗ:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$-x > 0 \Rightarrow x < 0$
$-7 - 8x > 0 \Rightarrow -8x > 7 \Rightarrow x < -7/8$

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$\log_5(-7 - 8x) \neq 0 \Rightarrow -7 - 8x \neq 5^0 \Rightarrow -7 - 8x \neq 1 \Rightarrow -8x \neq 8 \Rightarrow x \neq -1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < -7/8$ и $x \neq -1$.

Преобразуем уравнение:

$2\log_5(-x) = \log_5(-7 - 8x)$

Используем свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:

$\log_5((-x)^2) = \log_5(-7 - 8x)$

$\log_5(x^2) = \log_5(-7 - 8x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять их аргументы:

$x^2 = -7 - 8x$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = 7$

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < -7/8$ и $x \neq -1$):

$x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq -1$.

$x_2 = -7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-7 < -7/8$.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $x = -7$.

2. Решите неравенство:

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \ge 136$;

2) $2\log_{0,7}x \le \log_{0,7}(9-8x)$.

1) $11 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^{x-1} \geq 136$

Преобразуем выражение $2^{x-1}$ по свойству степеней: $2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$.

Подставим это в неравенство:

$11 \cdot 2^x - 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x \geq 136$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(11 - \frac{5}{2}\right) \geq 136$

Вычислим значение в скобках:

$11 - \frac{5}{2} = \frac{22}{2} - \frac{5}{2} = \frac{17}{2}$

Неравенство принимает вид:

$2^x \cdot \frac{17}{2} \geq 136$

Разделим обе части неравенства на $\frac{17}{2}$ (или умножим на $\frac{2}{17}$):

$2^x \geq 136 \cdot \frac{2}{17}$

$2^x \geq 8 \cdot 2$

$2^x \geq 16$

Представим 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2^4$.

$2^x \geq 2^4$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$x \geq 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

2) $2\log_{0.7}x \leq \log_{0.7}(9-8x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 9 - 8x > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$9 > 8x$

$x < \frac{9}{8}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{9}{8})$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:

$\log_{0.7}x^2 \leq \log_{0.7}(9-8x)$

Основание логарифма $0.7$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 \geq 9-8x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 + 8x - 9 \geq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = -9$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.

Графиком функции $y=x^2+8x-9$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 8x - 9 \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{9}{8})$:

$\left( (-\infty; -9] \cup [1; +\infty) \right) \cap \left(0; \frac{9}{8}\right)$

Учитывая, что $\frac{9}{8} = 1.125$, пересечением является интервал $[1; \frac{9}{8})$.

Ответ: $x \in [1; \frac{9}{8})$.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками

функций $y=\frac{8}{x}$ и $y=5-0,5x$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = 5 - 0,5x$, необходимо найти точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем правые части уравнений функций:

$\frac{8}{x} = 5 - 0,5x$

Умножим обе части уравнения на $x$, предполагая, что $x \neq 0$ (что верно, так как $x$ находится в знаменателе):

$8 = 5x - 0,5x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,5x^2 - 5x + 8 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 2:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Корнями являются:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Эти значения являются пределами интегрирования для вычисления площади.

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $f(x)$ и $g(x)$, на отрезке $[a, b]$ вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на этом отрезке.

Определим, какая из функций принимает большее значение на интервале $(2, 8)$. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 4$:

Для $y_1 = 5 - 0,5x$: $y_1(4) = 5 - 0,5 \cdot 4 = 5 - 2 = 3$.

Для $y_2 = \frac{8}{x}$: $y_2(4) = \frac{8}{4} = 2$.

Поскольку $3 > 2$, на интервале $(2, 8)$ график прямой $y = 5 - 0,5x$ расположен выше графика гиперболы $y = \frac{8}{x}$.

Теперь составим определенный интеграл для вычисления площади $S$:

$S = \int_{2}^{8} \left( (5 - 0,5x) - \frac{8}{x} \right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (5 - 0,5x - \frac{8}{x}) dx = 5x - 0,5 \frac{x^2}{2} - 8 \ln|x| = 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln|x|$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница. Поскольку на отрезке $[2, 8]$ $x > 0$, знак модуля можно опустить.

$S = \left. \left( 5x - \frac{x^2}{4} - 8 \ln(x) \right) \right|_{2}^{8} = \left( 5 \cdot 8 - \frac{8^2}{4} - 8 \ln(8) \right) - \left( 5 \cdot 2 - \frac{2^2}{4} - 8 \ln(2) \right)$

$S = \left( 40 - \frac{64}{4} - 8 \ln(8) \right) - \left( 10 - \frac{4}{4} - 8 \ln(2) \right)$

$S = (40 - 16 - 8 \ln(8)) - (10 - 1 - 8 \ln(2))$

$S = (24 - 8 \ln(8)) - (9 - 8 \ln(2))$

$S = 24 - 8 \ln(8) - 9 + 8 \ln(2) = 15 - 8 \ln(8) + 8 \ln(2)$

Используем свойства логарифмов: $8 \ln(8) = 8 \ln(2^3) = 8 \cdot 3 \ln(2) = 24 \ln(2)$.

$S = 15 - 24 \ln(2) + 8 \ln(2) = 15 - 16 \ln(2)$

Ответ: $15 - 16 \ln(2)$.

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 10\cos10x - \frac{1}{5}\sin\frac{x}{5}$, график которой проходит через точку $B \left(\frac{5\pi}{2}; -3\right)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, необходимо вычислить ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 10\cos{10x} - \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}}$ находится следующим образом:

$F(x) = \int (10\cos{10x} - \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}}) \,dx = \int 10\cos{10x} \,dx - \int \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}} \,dx$.

Воспользуемся табличными интегралами: $\int \cos(kx) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int \sin(kx) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

Для первого слагаемого ($k=10$):
$\int 10\cos{10x} \,dx = 10 \cdot \frac{1}{10}\sin{10x} = \sin{10x}$.

Для второго слагаемого ($k=\frac{1}{5}$):
$\int \frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}} \,dx = \frac{1}{5} \cdot (-\frac{1}{1/5}\cos{\frac{x}{5}}) = \frac{1}{5} \cdot (-5\cos{\frac{x}{5}}) = -\cos{\frac{x}{5}}$.

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $C$:
$F(x) = \sin{10x} - (-\cos{\frac{x}{5}}) + C = \sin{10x} + \cos{\frac{x}{5}} + C$.

Это общий вид всех первообразных для функции $f(x)$. Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $B(\frac{5\pi}{2}; -3)$, нужно подставить координаты этой точки в уравнение $F(x)$ и найти значение $C$.

$F(\frac{5\pi}{2}) = -3$.

$-3 = \sin(10 \cdot \frac{5\pi}{2}) + \cos(\frac{1}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) + C$.

Упростим аргументы тригонометрических функций:
$10 \cdot \frac{5\pi}{2} = 25\pi$.
$\frac{1}{5} \cdot \frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Подставим упрощенные значения и вычислим:
$-3 = \sin(25\pi) + \cos(\frac{\pi}{2}) + C$.
Поскольку $\sin(25\pi) = 0$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$-3 = 0 + 0 + C$.
$C = -3$.

Теперь подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:
$F(x) = \sin{10x} + \cos{\frac{x}{5}} - 3$.

Ответ: $F(x) = \sin{10x} + \cos{\frac{x}{5}} - 3$.

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $1 < |z - 2i| \leq 3$.

Данное условие $1 < |z - 2i| \leq 3$ определяет множество точек $z$ на комплексной плоскости.

Выражение $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z$ и $z_0$. В нашем случае $z_0 = 2i$, что соответствует точке с координатами $(0, 2)$ на комплексной плоскости (где горизонтальная ось — вещественная, а вертикальная — мнимая).

Таким образом, неравенство $1 < |z - 2i| \leq 3$ описывает все точки $z$, расстояние от которых до точки $2i$ больше 1, но не превышает 3.

Разобьем двойное неравенство на два условия:

1. $|z - 2i| \leq 3$. Это условие задает множество всех точек, расстояние от которых до $2i$ меньше или равно 3. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $2i$ и радиусом $R=3$. Граница круга (окружность) включается в множество, так как неравенство нестрогое ($\leq$).
2. $|z - 2i| > 1$. Это условие задает множество всех точек, расстояние от которых до $2i$ строго больше 1. Геометрически это область вне открытого круга с центром в точке $2i$ и радиусом $r=1$. Граница этого круга (окружность) не включается в множество, так как неравенство строгое ($>$).

Объединяя оба условия, мы получаем множество точек, которые находятся внутри или на границе окружности радиусом 3 и одновременно вне окружности радиусом 1. Обе окружности имеют общий центр в точке $2i$.

Такая фигура называется кольцом или аннулусом.

Алгебраически, если представить $z$ в виде $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, то:

$|z - 2i| = |x + iy - 2i| = |x + i(y-2)| = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}$

Тогда неравенство принимает вид:

$1 < \sqrt{x^2 + (y-2)^2} \leq 3$

Возводя все части в квадрат, получаем:

$1^2 < (\sqrt{x^2 + (y-2)^2})^2 \leq 3^2$

$1 < x^2 + (y-2)^2 \leq 9$

Это уравнение как раз и описывает кольцо с центром в точке $(0, 2)$, внутренним радиусом $r=1$ (граница не включена) и внешним радиусом $R=3$ (граница включена).

Изображение этого множества на комплексной плоскости:

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой кольцо с центром в точке $z_0=2i$. Внутренняя граница кольца — окружность $|z-2i|=1$ — не включается в множество (на рисунке изображена пунктирной линией). Внешняя граница — окружность $|z-2i|=3$ — включается в множество (на рисунке изображена сплошной линией).

6. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Значение $x$: $3, 4, 7$

Вероятность: $\frac{1}{7}, \frac{4}{7}, \frac{2}{7}$

Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

Математическое ожидание $E(x)$ дискретной случайной величины $x$ — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Оно вычисляется по формуле:

$E(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это значения, которые может принимать случайная величина, а $p_i$ — соответствующие этим значениям вероятности.

Согласно таблице распределения, данной в условии, имеем следующие значения и вероятности:

• $x_1 = 3$ с вероятностью $p_1 = \frac{1}{7}$
• $x_2 = 4$ с вероятностью $p_2 = \frac{4}{7}$
• $x_3 = 7$ с вероятностью $p_3 = \frac{2}{7}$

Перед вычислением убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1, что является обязательным условием для любого распределения вероятностей:

$\sum p_i = \frac{1}{7} + \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{1+4+2}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Условие выполняется. Теперь подставим значения в формулу для математического ожидания:

$E(x) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 = 3 \cdot \frac{1}{7} + 4 \cdot \frac{4}{7} + 7 \cdot \frac{2}{7}$

Выполним вычисления:

$E(x) = \frac{3}{7} + \frac{16}{7} + \frac{14}{7} = \frac{3 + 16 + 14}{7} = \frac{33}{7}$

Таким образом, математическое ожидание данной случайной величины равно $\frac{33}{7}$.

Ответ: $\frac{33}{7}$

7. Сколько решений в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение $2^{|x+2|} = a - (x+2)^2$?

Перепишем исходное уравнение $2^{|x+2|} = a - (x+2)^2$ в виде $2^{|x+2|} + (x+2)^2 = a$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x+2$. Тогда уравнение примет вид: $2^{|t|} + t^2 = a$.

Количество решений исходного уравнения для $x$ совпадает с количеством решений этого уравнения для $t$, так как каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x = t-2$.

Решим задачу графически. Для этого найдем количество точек пересечения графика функции $y = f(t) = 2^{|t|} + t^2$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(t) = 2^{|t|} + t^2$.

Функция является четной, так как $f(-t) = 2^{|-t|} + (-t)^2 = 2^{|t|} + t^2 = f(t)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

В силу четности, достаточно исследовать функцию при $t \ge 0$. На этом промежутке $|t| = t$, и функция принимает вид $f(t) = 2^t + t^2$.

Найдем производную функции при $t > 0$: $f'(t) = (2^t + t^2)' = 2^t \ln 2 + 2t$.

Так как при $t > 0$ слагаемые $2^t \ln 2$ и $2t$ строго положительны (поскольку $\ln 2 > 0$), то производная $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ строго возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Поскольку функция $f(t)$ возрастает на $[0; +\infty)$ и симметрична относительно оси Oy, то в точке $t=0$ она достигает своего минимума. Найдем минимальное значение функции: $f_{min} = f(0) = 2^{|0|} + 0^2 = 2^0 + 0 = 1$.

Таким образом, график функции $y=f(t)$ имеет наименьшее значение $y=1$ в точке $t=0$. Множество значений функции - это $[1; +\infty)$. Проанализируем количество решений в зависимости от значения параметра $a$.

При $a < 1$
Прямая $y=a$ проходит ниже минимального значения функции, поэтому точек пересечения с графиком нет.
Ответ: 0 решений.

При $a = 1$
Прямая $y=a$ касается графика функции в его точке минимума $(0, 1)$. Существует одна точка пересечения $t=0$. Этому значению $t$ соответствует $x = t-2 = -2$.
Ответ: 1 решение.

При $a > 1$
Прямая $y=a$ пересекает график функции в двух точках, симметричных относительно оси Oy, так как $a$ больше минимального значения функции. Это означает, что есть два различных корня $t_1 > 0$ и $t_2 = -t_1 < 0$. Каждому из этих двух значений $t$ соответствует единственное значение $x$.
Ответ: 2 решения.