Страница 62 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. О событиях $A$ и $B$ некоторого испытания известно, что $P(A)=\frac{3}{5}$, $P(B)=\frac{1}{3}$ и $P(A \cup B)=\frac{4}{9}$. Найдите $P(A \cap B)$.

Для нахождения вероятности пересечения событий $A$ и $B$ ($P(A \cap B)$) используется формула сложения вероятностей для двух событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Чтобы найти $P(A \cap B)$, выразим эту величину из формулы:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Согласно условию задачи, нам известны следующие вероятности:

$P(A) = \frac{3}{5}$

$P(B) = \frac{1}{3}$

$P(A \cup B) = \frac{4}{9}$

Подставим эти значения в формулу для $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} - \frac{4}{9}$

Для выполнения вычислений с дробями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для знаменателей 5, 3 и 9 является число 45.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{27}{45}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{15}{45}$

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45}$

Теперь выполним подстановку и вычисление:

$P(A \cap B) = \frac{27}{45} + \frac{15}{45} - \frac{20}{45} = \frac{27 + 15 - 20}{45} = \frac{42 - 20}{45} = \frac{22}{45}$

Ответ: $\frac{22}{45}$.

2. Найдите отношение суммы чисел, стоящих в 15-й строке треугольника Паскаля, к сумме чисел, стоящей в его 11-й строке.

Известно, что сумма чисел, стоящих в $n$-й строке треугольника Паскаля (при нумерации строк с нуля), равна $2^n$. В задаче речь идет о порядковых номерах строк, где 1-я строка соответствует $n=0$, 2-я строка — $n=1$, и в общем случае $k$-я строка соответствует $n=k-1$.

Следовательно, сумма чисел в 15-й строке треугольника Паскаля соответствует $n = 15 - 1 = 14$ и равна:
$S_{15} = 2^{14}$

Аналогично, сумма чисел в 11-й строке соответствует $n = 11 - 1 = 10$ и равна:
$S_{11} = 2^{10}$

Теперь найдем отношение этих сумм:
$\frac{S_{15}}{S_{11}} = \frac{2^{14}}{2^{10}}$

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n})$, получаем:
$\frac{2^{14}}{2^{10}} = 2^{14-10} = 2^4 = 16$

Ответ: 16

3. В некоторой школе вероятность того, что наугад выбранный ученик посещает баскетбольную секцию, равна 15%, а вероятность того, что наугад выбранный ученик посещает волейбольную секцию, равна 10%. Известно, что среди учеников, посещающих баскетбольную секцию, 30% посещают волейбольную. Найдите вероятность того, что наугад выбранный волейболист является также баскетболистом.

Для решения задачи введем обозначения для событий:

Событие $A$ — наугад выбранный ученик посещает баскетбольную секцию.

Событие $B$ — наугад выбранный ученик посещает волейбольную секцию.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что случайно выбранный ученик посещает баскетбольную секцию: $P(A) = 15\% = 0.15$.
• Вероятность того, что случайно выбранный ученик посещает волейбольную секцию: $P(B) = 10\% = 0.10$.
• Вероятность того, что ученик, посещающий баскетбольную секцию, также посещает и волейбольную. Это условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ произошло: $P(B|A) = 30\% = 0.30$.

Требуется найти вероятность того, что наугад выбранный волейболист является также баскетболистом. Это условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ произошло, то есть $P(A|B)$.

Формула условной вероятности для события $A$ при условии $B$ имеет вид:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Здесь $P(A \cap B)$ — это вероятность того, что ученик посещает обе секции одновременно (вероятность пересечения событий $A$ и $B$).

Для нахождения $P(A \cap B)$ воспользуемся известной нам условной вероятностью $P(B|A)$. Формула для неё выглядит так:

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Из этой формулы мы можем выразить искомую вероятность пересечения событий:

$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)$

Подставим известные значения в эту формулу:

$P(A \cap B) = 0.30 \cdot 0.15 = 0.045$

Теперь, когда мы знаем вероятность пересечения $P(A \cap B)$ и вероятность $P(B)$, мы можем найти требуемую условную вероятность $P(A|B)$:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.045}{0.10} = 0.45$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный ученик из волейбольной секции также посещает и баскетбольную, составляет 0.45.

Ответ: 0.45

4. Найдите значение $P(y = 5)$ и дисперсию случайной величины $y$.

Значение $y$: 1, 2, 5, 7

Вероятность, %: 15, 65, ___, 20

Значение P(y = 5)

Сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной случайной величины равна 1 (или 100%). В таблице даны вероятности в процентах для значений $y=1, y=2$ и $y=7$. Найдем их сумму:

$P(y=1) + P(y=2) + P(y=7) = 15\% + 65\% + 20\% = 100\%$

Так как сумма уже известных вероятностей составляет 100%, то вероятность того, что случайная величина $y$ примет значение 5, равна 0.

$P(y=5) = 100\% - (15\% + 65\% + 20\%) = 100\% - 100\% = 0\%$

Ответ: $P(y = 5) = 0\%$.

Дисперсия случайной величины y

Дисперсия $D(y)$ случайной величины $y$ вычисляется по формуле: $D(y) = E(y^2) - [E(y)]^2$, где $E(y)$ — математическое ожидание $y$, а $E(y^2)$ — математическое ожидание $y^2$.

Для расчетов представим вероятности в виде десятичных дробей: $P(y=1) = 0.15$; $P(y=2) = 0.65$; $P(y=5) = 0$; $P(y=7) = 0.20$.

1. Найдем математическое ожидание $E(y)$ (среднее значение) случайной величины: $E(y) = \sum y_i \cdot P(y_i) = 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0.65 + 5 \cdot 0 + 7 \cdot 0.20 = 0.15 + 1.30 + 0 + 1.40 = 2.85$.

2. Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $E(y^2)$: $E(y^2) = \sum y_i^2 \cdot P(y_i) = 1^2 \cdot 0.15 + 2^2 \cdot 0.65 + 5^2 \cdot 0 + 7^2 \cdot 0.20$ $E(y^2) = 1 \cdot 0.15 + 4 \cdot 0.65 + 25 \cdot 0 + 49 \cdot 0.20 = 0.15 + 2.60 + 0 + 9.80 = 12.55$.

3. Теперь можем вычислить дисперсию: $D(y) = E(y^2) - [E(y)]^2 = 12.55 - (2.85)^2 = 12.55 - 8.1225 = 4.4275$.

Ответ: $4.4275$.

5. Вероятность того, что футболист забьёт гол с одиннадцатиметрового штрафного удара, равна 0,8. Какова вероятность того, что в серии из пяти ударов он забьёт:

1) не менее четырёх голов;

2) менее трёх голов?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, так как проводятся независимые испытания (удары по воротам) с двумя возможными исходами (гол или промах) и постоянной вероятностью успеха.

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ – общее число испытаний (ударов);
• $k$ – число успешных исходов (забитых голов);
• $p$ – вероятность успеха в одном испытании (забить гол);
• $q$ – вероятность неудачи в одном испытании (не забить гол), $q = 1 - p$;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из $n$ по $k$.

По условию задачи:

• $n = 5$ (серия из пяти ударов)
• $p = 0,8$ (вероятность забить гол)
• $q = 1 - 0,8 = 0,2$ (вероятность не забить гол)

1) не менее четырёх голов;

Событие "не менее четырёх голов" означает, что футболист забьёт либо 4 гола, либо 5 голов. Вероятности этих двух несовместных событий нужно сложить.

$P(k \ge 4) = P_5(4) + P_5(5)$

Найдём вероятность забить ровно 4 гола:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^{5-4} = \frac{5!}{4!1!} \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^1 = 5 \cdot 0,4096 \cdot 0,2 = 0,4096$

Найдём вероятность забить ровно 5 голов:

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^{5-5} = \frac{5!}{5!0!} \cdot (0,8)^5 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,32768 \cdot 1 = 0,32768$

Теперь сложим эти вероятности:

$P(k \ge 4) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728$

Ответ: 0,73728

2) менее трёх голов?

Событие "менее трёх голов" означает, что футболист забьёт 0, 1 или 2 гола. Вероятности этих трёх несовместных событий нужно сложить.

$P(k < 3) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2)$

Найдём вероятность не забить ни одного гола (забить 0 голов):

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,00032 = 0,00032$

Найдём вероятность забить ровно 1 гол:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^4 = 5 \cdot 0,8 \cdot 0,0016 = 0,0064$

Найдём вероятность забить ровно 2 гола:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 0,64 \cdot 0,008 = 10 \cdot 0,64 \cdot 0,008 = 0,0512$

Теперь сложим эти вероятности:

$P(k < 3) = 0,00032 + 0,0064 + 0,0512 = 0,05792$

Ответ: 0,05792