Страница 57 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение:

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0;$

2) $\lg(x - 3) + \lg(x + 45) = 2;$

3) $\lg^2 10x - 6\lg x = 6;$

4) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3-4x)} = 1.$

1) $36^x - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде:
$(6^x)^2 - 9 \cdot 6^x + 18 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
В результате замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 9t + 18 = 0$
Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета:
Сумма корней $t_1 + t_2 = 9$.
Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 18$.
Подбором находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 3$, то $6^x = 3$. По определению логарифма, $x = \log_6 3$.
2. Если $t = 6$, то $6^x = 6^1$. Отсюда $x = 1$.
Ответ: $x = \log_6 3; x = 1$.

2) $\lg(x - 3) + \lg(x + 45) = 2$
Это логарифмическое уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 45 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > -45 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 3$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\lg((x - 3)(x + 45)) = 2$
По определению десятичного логарифма (логарифма по основанию 10):
$(x - 3)(x + 45) = 10^2$
$(x - 3)(x + 45) = 100$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 + 45x - 3x - 135 = 100$
$x^2 + 42x - 235 = 0$
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-235) = 1764 + 940 = 2704 = 52^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 + 52}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 - 52}{2} = \frac{-94}{2} = -47$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 > 3$.
$x_2 = -47$ не удовлетворяет условию, так как $-47 \ngtr 3$. Этот корень является посторонним.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $x = 5$.

3) $\lg^2(10x) - 6\lg x = 6$
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$\begin{cases} 10x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0$.
Используем свойство логарифма произведения $\lg(ab) = \lg a + \lg b$:
$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(1 + \lg x)^2 - 6\lg x = 6$
Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$.
$(1 + t)^2 - 6t = 6$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1 + 2t + t^2 - 6t - 6 = 0$
$t^2 - 4t - 5 = 0$
Найдем корни по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 4$
$t_1 \cdot t_2 = -5$
Получаем корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t = 5$, то $\lg x = 5 \implies x = 10^5 = 100000$.
2. Если $t = -1$, то $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.
Оба корня ($100000$ и $0.1$) положительны и, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = 100000; x = 0.1$.

4) $\frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-3 - 4x)} = 1$
Найдем ОДЗ, учитывая, что аргументы логарифмов должны быть положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$\begin{cases} -x > 0 \\ -3 - 4x > 0 \\ \log_3(-3 - 4x) \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ -4x > 3 \\ -3 - 4x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x < -3/4 \\ -4x \neq 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3/4 \\ x \neq -1 \end{cases}$
Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -3/4)$.
Преобразуем уравнение, умножив обе части на знаменатель (на ОДЗ он не равен нулю):
$2\log_3(-x) = \log_3(-3 - 4x)$
Используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a(b^n)$:
$\log_3((-x)^2) = \log_3(-3 - 4x)$
$\log_3(x^2) = \log_3(-3 - 4x)$
Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять их аргументы:
$x^2 = -3 - 4x$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Найдем корни по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Получаем корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
$x_1 = -1$ не входит в ОДЗ, так как при $x = -1$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль.
$x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < -3/4$ и $-3 \neq -1$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $x = -3$.

2. Решите неравенство:

1) $5 \cdot 3x - 4 \cdot 3x - 1 \ge 99;$

2) $2\log_{0.8}(-x) \ge \log_{0.8}(10x + 24).$

1) $5 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^{x-1} \ge 99$

Сначала преобразуем выражение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

$5 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{3^x}{3^1} \ge 99$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \cdot (5 - \frac{4}{3}) \ge 99$

Выполним вычитание в скобках:

$5 - \frac{4}{3} = \frac{15}{3} - \frac{4}{3} = \frac{11}{3}$

Подставим полученное значение в неравенство:

$3^x \cdot \frac{11}{3} \ge 99$

Чтобы найти $3^x$, разделим обе части неравенства на $\frac{11}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь $\frac{3}{11}$.

$3^x \ge 99 \cdot \frac{3}{11}$

$3^x \ge \frac{99}{11} \cdot 3$

$3^x \ge 9 \cdot 3$

$3^x \ge 27$

Представим число 27 как степень с основанием 3:

$3^x \ge 3^3$

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x \ge 3$

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

2) $2\log_{0,8}(-x) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Решение этого логарифмического неравенства начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases} -x > 0 \\ 10x + 24 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ 10x > -24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x > -2,4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2,4; 0)$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Преобразуем левую часть, используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:

$\log_{0,8}((-x)^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

$\log_{0,8}(x^2) \ge \log_{0,8}(10x + 24)$

Основание логарифма $0,8$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{0,8}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x^2 \le 10x + 24$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 10x - 24 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 10x - 24 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Графиком функции $y = x^2 - 10x - 24$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0$) на отрезке между корнями.

Следовательно, решение квадратного неравенства: $x \in [-2; 12]$.

На последнем шаге необходимо учесть ОДЗ, найденную ранее. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in [-2; 12] \\ x \in (-2,4; 0) \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[-2; 0)$.

Ответ: $x \in [-2; 0)$.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками

функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0.5x$.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 4 - 0.5x$, необходимо сначала найти точки пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек будут пределами интегрирования. Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{6}{x} = 4 - 0.5x$

Умножим обе части уравнения на $x$, предполагая, что $x \neq 0$ (что является условием существования функции $y = \frac{6}{x}$):

$6 = 4x - 0.5x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0.5x^2 - 4x + 6 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 2:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Это и есть пределы интегрирования.

Далее необходимо определить, какая из функций принимает большие значения на интервале $[2, 6]$, то есть какой график расположен выше. Для этого выберем любую пробную точку из этого интервала, например, $x = 3$, и сравним значения функций в этой точке:

Для функции $y = 4 - 0.5x$: $y(3) = 4 - 0.5 \cdot 3 = 4 - 1.5 = 2.5$

Для функции $y = \frac{6}{x}$: $y(3) = \frac{6}{3} = 2$

Поскольку $2.5 > 2$, на интервале $(2, 6)$ график прямой $y = 4 - 0.5x$ расположен выше графика гиперболы $y = \frac{6}{x}$.

Площадь $S$ искомой фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах от $a=2$ до $b=6$:

$S = \int_{2}^{6} \left( (4 - 0.5x) - \frac{6}{x} \right) dx$

Теперь вычислим этот интеграл. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int \left( 4 - 0.5x - \frac{6}{x} \right) dx = 4x - 0.5 \frac{x^2}{2} - 6 \ln|x| = 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln|x|$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$. Так как интервал интегрирования $[2, 6]$ содержит только положительные числа, знак модуля у натурального логарифма можно опустить.

$S = \left[ 4x - \frac{x^2}{4} - 6 \ln x \right]_{2}^{6} = \left( 4(6) - \frac{6^2}{4} - 6 \ln(6) \right) - \left( 4(2) - \frac{2^2}{4} - 6 \ln(2) \right)$

$S = \left( 24 - \frac{36}{4} - 6 \ln(6) \right) - \left( 8 - \frac{4}{4} - 6 \ln(2) \right)$

$S = (24 - 9 - 6 \ln(6)) - (8 - 1 - 6 \ln(2))$

$S = (15 - 6 \ln(6)) - (7 - 6 \ln(2))$

$S = 15 - 7 - 6 \ln(6) + 6 \ln(2) = 8 - 6(\ln(6) - \ln(2))$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$, упростим выражение:

$S = 8 - 6 \ln\left(\frac{6}{2}\right) = 8 - 6 \ln(3)$

Ответ: $8 - 6 \ln(3)$.

4. Найдите первообразную функции $f(x) = 4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}$, график которой проходит через точку $A \left(\frac{\pi}{3}; -1\right)$.

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Чтобы найти общий вид первообразных для данной функции $f(x) = 4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$, нужно найти ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int (4\sin 4x + \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}) dx$

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$F(x) = \int 4\sin 4x dx + \int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} dx$

Вычислим каждый интеграл, используя табличные интегралы $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$ и $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

Для первого слагаемого ($k=4$):

$\int 4\sin 4x dx = 4 \cdot (-\frac{1}{4}\cos 4x) = -\cos 4x$

Для второго слагаемого ($k=\frac{1}{2}$):

$\int \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2}$

Таким образом, общий вид первообразной функции:

$F(x) = -\cos 4x + \sin\frac{x}{2} + C$, где $C$ - константа интегрирования.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{3}; -1)$. Это значит, что при $x = \frac{\pi}{3}$ значение функции $F(x)$ равно $-1$, то есть $F(\frac{\pi}{3}) = -1$. Подставим эти значения в найденную формулу, чтобы определить константу $C$.

$-\cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}) + C = -1$

$-\cos(\frac{4\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{6}) + C = -1$

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим вычисленные значения в уравнение:

$-(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + C = -1$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C = -1$

$1 + C = -1$

$C = -1 - 1 = -2$

Теперь подставим найденное значение $C = -2$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\cos 4x + \sin\frac{x}{2} - 2$

Ответ: $F(x) = -\cos 4x + \sin\frac{x}{2} - 2$

5. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию $2 \leq |z + 3i| < 4$.

Данное условие $2 \le |z + 3i| < 4$ определяет множество точек $z$ на комплексной плоскости.

Геометрический смысл выражения $|z_1 - z_2|$ — это расстояние между точками, соответствующими комплексным числам $z_1$ и $z_2$. Преобразуем выражение в неравенстве: $|z + 3i| = |z - (-3i)|$. Это означает расстояние от переменной точки $z$ до фиксированной точки $z_0 = -3i$. На комплексной плоскости точка $z_0$ имеет координаты $(0, -3)$.

Таким образом, неравенство $2 \le |z - (-3i)| < 4$ задает множество всех точек $z$, расстояние от которых до точки $(0, -3)$ не меньше 2, но строго меньше 4.

Это множество представляет собой кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в точке $C(0, -3)$.

Левая часть двойного неравенства, $|z + 3i| \ge 2$, задает область, включающую окружность радиусом $R_1=2$ с центром в $C(0, -3)$ и все точки вне этой окружности. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сама окружность является частью искомого множества.

Правая часть двойного неравенства, $|z + 3i| < 4$, задает область внутри окружности радиусом $R_2=4$ с тем же центром $C(0, -3)$. Так как неравенство строгое ($<$), сама окружность не является частью искомого множества.

Искомое множество является пересечением этих двух областей. Это кольцо, где внутренняя граница (окружность радиусом 2) принадлежит множеству, а внешняя граница (окружность радиусом 4) не принадлежит множеству. При изображении на плоскости внутренняя граница рисуется сплошной линией, а внешняя — пунктирной.

Алгебраически, если представить $z = x + yi$, то $|z + 3i| = |x + yi + 3i| = |x + (y+3)i| = \sqrt{x^2 + (y+3)^2}$. Неравенство принимает вид $2 \le \sqrt{x^2 + (y+3)^2} < 4$. Возведя все части в квадрат (что является эквивалентным преобразованием, так как все части неотрицательны), получаем $4 \le x^2 + (y+3)^2 < 16$, что и является аналитическим заданием указанного кольца.

Ответ: Искомое множество чисел $z$ на комплексной плоскости представляет собой кольцо с центром в точке $(0, -3)$, ограниченное двумя окружностями. Внутренняя окружность радиусом $R_1=2$ включается в это множество, а внешняя окружность радиусом $R_2=4$ не включается.

6. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Значение $x$: 2, 5, 8

Вероятность: $\frac{2}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$

Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

Математическое ожидание $M(x)$ дискретной случайной величины $x$ вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула для вычисления математического ожидания:

$M(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

где $x_i$ — это $i$-е значение случайной величины, а $p_i$ — это вероятность этого значения.

Согласно таблице, случайная величина $x$ принимает следующие значения с соответствующими вероятностями:
$x_1 = 2$ с вероятностью $p_1 = \frac{2}{5}$
$x_2 = 5$ с вероятностью $p_2 = \frac{1}{5}$
$x_3 = 8$ с вероятностью $p_3 = \frac{2}{5}$

Для начала, убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1, что является свойством любого распределения вероятностей:

$\sum p_i = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{2+1+2}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Условие выполнено. Теперь подставим данные в формулу для математического ожидания:

$M(x) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 = 2 \cdot \frac{2}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5} + 8 \cdot \frac{2}{5}$

Произведем вычисления:

$M(x) = \frac{4}{5} + \frac{5}{5} + \frac{16}{5} = \frac{4 + 5 + 16}{5} = \frac{25}{5} = 5$

Ответ: 5

7. Сколько решений в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение $2^{|x - 1|} = a - (x - 1)^2$?

Для определения количества решений уравнения в зависимости от параметра $a$ преобразуем его и воспользуемся графическим методом.

Исходное уравнение: $2^{|x-1|} = a - (x-1)^2$.

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:

$2^{|x-1|} + (x-1)^2 = a$

Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Пусть $t = x - 1$. Тогда уравнение примет вид:

$2^{|t|} + t^2 = a$

Количество решений исходного уравнения для $x$ совпадает с количеством решений этого уравнения для $t$, так как каждому значению $t$ соответствует единственное значение $x$ ($x = t + 1$).

Рассмотрим функцию $f(t) = 2^{|t|} + t^2$. Задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $y=f(t)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Исследуем свойства функции $f(t)$:

• Четность. Функция является четной, так как $f(-t) = 2^{|-t|} + (-t)^2 = 2^{|t|} + t^2 = f(t)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат.
• Поведение при $t \ge 0$. На этом промежутке $|t| = t$, и функция имеет вид $f(t) = 2^t + t^2$. Найдем ее производную для $t > 0$: $f'(t) = (2^t + t^2)' = 2^t \ln 2 + 2t$. Поскольку при $t > 0$ оба слагаемых ($2^t \ln 2$ и $2t$) положительны, производная $f'(t) > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на промежутке $[0, \infty)$.
• Экстремумы. Так как функция $f(t)$ возрастает при $t \ge 0$ и является четной (т.е. убывает при $t \le 0$), точка $t=0$ является точкой глобального минимума. Минимальное значение функции: $f_{min} = f(0) = 2^{|0|} + 0^2 = 2^0 + 0 = 1$.
• Область значений. Область значений функции $E(f)$ — это промежуток $[1, \infty)$.

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения параметра $a$.

При $a < 1$

В этом случае прямая $y=a$ проходит ниже минимального значения функции $f(t)$. Графики $y=f(t)$ и $y=a$ не пересекаются, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

При $a = 1$

В этом случае прямая $y=a$ касается графика функции $y=f(t)$ в точке ее минимума $(0, 1)$. Уравнение имеет единственное решение $t=0$, что соответствует $x-1=0$, то есть $x=1$.

Ответ: одно решение.

При $a > 1$

В этом случае прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(t)$ в двух точках. Так как функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, \infty)$, а также в силу симметрии, будет одно решение $t_1 < 0$ и одно решение $t_2 = -t_1 > 0$. Каждому из этих двух значений $t$ соответствует одно значение $x$.

Ответ: два решения.