Страница 51 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Математическое ожидание суммы
случайных величин

1. О случайных величинах $x$ и $y$ известно, что $M(x) = 2$, $M(y) = -2$. Найдите математическое ожидание случайной величины:

1) $x - y$;

2) $x + y$;

3) $\frac{3y - x}{2}$.

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $60\%$. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из пяти выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

3. В каждом из трёх ящиков находится по 100 шаров. Количество белых шаров в этих ящиках равно соответственно 14, 291, 53. Из каждого ящика достают по одному шару. Найдите математическое ожидание количества вынутых белых шаров.

Для решения первой задачи воспользуемся свойствами математического ожидания: $M(X+Y) = M(X)+M(Y)$ и $M(aX) = aM(X)$, где $a$ - константа.

1) $x - y$

Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий:

$M(x - y) = M(x) - M(y) = 2 - (-2) = 4$.

Ответ: 4

2) $x + y$

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

$M(x + y) = M(x) + M(y) = 2 + (-2) = 0$.

Ответ: 0

3) $\frac{3y - x}{2}$

Используя свойства математического ожидания (вынесение константы за знак и нахождение математического ожидания разности):

$M(\frac{3y - x}{2}) = M(\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}x) = \frac{3}{2}M(y) - \frac{1}{2}M(x) = \frac{3}{2}(-2) - \frac{1}{2}(2) = -3 - 1 = -4$.

Ответ: -4

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству попаданий в мишень в серии из 5 выстрелов. Данная ситуация описывается биномиальным распределением с параметрами: число испытаний $n = 5$ и вероятность успеха (попадания) в одном испытании $p = 0.6$. Вероятность промаха, соответственно, $q = 1 - p = 0.4$.

Вероятность того, что произойдет ровно $k$ попаданий, вычисляется по формуле Бернулли: $P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.

Рассчитаем вероятности для всех возможных значений $k$ от 0 до 5:

$P(X=0) = C_5^0 \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.01024 = 0.01024$

$P(X=1) = C_5^1 \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^4 = 5 \cdot 0.6 \cdot 0.0256 = 0.0768$

$P(X=2) = C_5^2 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^3 = 10 \cdot 0.36 \cdot 0.064 = 0.2304$

$P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456$

$P(X=4) = C_5^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^1 = 5 \cdot 0.1296 \cdot 0.4 = 0.2592$

$P(X=5) = C_5^5 \cdot (0.6)^5 \cdot (0.4)^0 = 1 \cdot 0.07776 \cdot 1 = 0.07776$

Составим таблицу распределения вероятностей:

Математическое ожидание для биномиального распределения вычисляется по формуле $M(X) = n \cdot p$.

$M(X) = 5 \cdot 0.6 = 3$.

Ответ: Математическое ожидание равно 3. Таблица распределения вероятностей представлена выше.

Пусть $X$ — общее количество вынутых белых шаров. Тогда $X = X_1 + X_2 + X_3$, где $X_1$, $X_2$ и $X_3$ — это случайные величины, равные количеству белых шаров, вынутых из первого, второго и третьего ящика соответственно. Каждая из этих величин является индикатором события (вынут белый шар) и может принимать значение 0 (если вынут не белый шар) или 1 (если вынут белый шар).

Заметим, что в условии задачи содержится опечатка: во втором ящике не может быть 291 белый шар, так как общее количество шаров в каждом ящике — 100. Будем исходить из того, что имелось в виду 29 белых шаров.

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

$M(X) = M(X_1 + X_2 + X_3) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3)$.

Математическое ожидание индикаторной случайной величины равно вероятности события, которое она индицирует. В данном случае, это вероятность вынуть белый шар из соответствующего ящика.

Вероятность вынуть белый шар из первого ящика: $p_1 = \frac{14}{100} = 0.14$.
Следовательно, математическое ожидание $M(X_1) = p_1 = 0.14$.

Вероятность вынуть белый шар из второго ящика (с учетом исправления опечатки): $p_2 = \frac{29}{100} = 0.29$.
Следовательно, математическое ожидание $M(X_2) = p_2 = 0.29$.

Вероятность вынуть белый шар из третьего ящика: $p_3 = \frac{53}{100} = 0.53$.
Следовательно, математическое ожидание $M(X_3) = p_3 = 0.53$.

Суммарное математическое ожидание:

$M(X) = 0.14 + 0.29 + 0.53 = 0.96$.

Ответ: 0.96