Страница 45 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Вычисление объёмов тел

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = -x^2 + 2x + 3$ и $y = x^2 - 1$;

2) $y = 3 - x$ и $y = |x^2 - 9|$.

2. Найдите, при каком значении параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 12x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a + 2$, принимает наименьшее значение.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите

$\int_{-3}^{0} \sqrt{-6x - x^2} dx.$

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x+5}$ и прямыми $x = 4$ и $y = 0$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = -x^2 + 2x + 3$ и $y = x^2 - 1$, сначала найдем точки их пересечения, приравняв выражения для $y$:
$-x^2 + 2x + 3 = x^2 - 1$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $[-1, 2]$. Возьмем пробную точку, например, $x=0$:
$y_1(0) = -0^2 + 2(0) + 3 = 3$
$y_2(0) = 0^2 - 1 = -1$
Так как $3 > -1$, на интервале $[-1, 2]$ график функции $y = -x^2 + 2x + 3$ находится выше графика $y = x^2 - 1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx$
Вычисляем интеграл:
$S = [-\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x]_{-1}^{2} = [-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x]_{-1}^{2}$
$S = (-\frac{2}{3}(2)^3 + 2^2 + 4(2)) - (-\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1))$
$S = (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4) = (-\frac{16}{3} + 12) - (\frac{2}{3} - 3)$
$S = (\frac{-16+36}{3}) - (\frac{2-9}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{20+7}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: $9$.

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками $y = 3 - x$ и $y = |x^2 - 9|$, найдем точки их пересечения.
Функцию $y = |x^2 - 9|$ можно записать как:
$y = x^2 - 9$, если $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$
$y = 9 - x^2$, если $x \in (-3, 3)$

Найдем точки пересечения $y=3-x$ с каждой частью:
1. $3 - x = x^2 - 9 \implies x^2 + x - 12 = 0$. Корни $x_1 = -4, x_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условиям $x \le -3$ и $x \ge 3$ соответственно.
2. $3 - x = 9 - x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$. Корни $x_1 = 3, x_2 = -2$. Корень $x=-2$ удовлетворяет условию $-3 < x < 3$.
Таким образом, точки пересечения: $x = -4, x = -2, x = 3$. Они образуют две замкнутые области.

Определим, какая функция является верхней на интервалах между точками пересечения:
- На интервале $[-4, -2]$: возьмем $x=-3$. $y_{линия} = 3 - (-3) = 6$, $y_{модуль} = |(-3)^2-9| = 0$. Значит, $y=3-x$ сверху.
- На интервале $[-2, 3]$: возьмем $x=0$. $y_{линия} = 3 - 0 = 3$, $y_{модуль} = |0^2-9| = 9$. Значит, $y=|x^2-9|$ сверху.

Площадь является суммой площадей двух фигур:
$S = S_1 + S_2 = \int_{-4}^{-2} (3 - x - |x^2 - 9|) dx + \int_{-2}^{3} (|x^2 - 9| - (3 - x)) dx$
Разобьем первый интеграл в точке $x=-3$, где меняется определение модуля:
$S_1 = \int_{-4}^{-3} (3 - x - (x^2 - 9)) dx + \int_{-3}^{-2} (3 - x - (9 - x^2)) dx$
$S_1 = \int_{-4}^{-3} (-x^2 - x + 12) dx + \int_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6) dx$
$S_1 = [-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+12x]_{-4}^{-3} + [\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x]_{-3}^{-2} = (\frac{19}{6}) + (\frac{17}{6}) = \frac{36}{6} = 6$.
Для второго интеграла на всем интервале $[-2, 3]$ имеем $|x^2-9| = 9-x^2$:
$S_2 = \int_{-2}^{3} (9 - x^2 - (3 - x)) dx = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx$
$S_2 = [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x]_{-2}^{3} = (-\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 - 12) = \frac{27}{2} - (-\frac{22}{3}) = \frac{81+44}{6} = \frac{125}{6}$.
Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 6 + \frac{125}{6} = \frac{36+125}{6} = \frac{161}{6}$.

Ответ: $\frac{161}{6}$.

2.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 12x^2$ и прямыми $y=0$, $x=a$, $x=a+2$, выражается через определенный интеграл. Так как $y=12x^2 \ge 0$ для всех $x$, площадь $S$ равна:
$S(a) = \int_{a}^{a+2} 12x^2 dx$

Вычислим этот интеграл:
$S(a) = [12 \cdot \frac{x^3}{3}]_{a}^{a+2} = [4x^3]_{a}^{a+2} = 4(a+2)^3 - 4a^3$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$S(a) = 4(a^3 + 6a^2 + 12a + 8) - 4a^3 = 4a^3 + 24a^2 + 48a + 32 - 4a^3$
$S(a) = 24a^2 + 48a + 32$

Получили функцию площади $S(a)$, которая является квадратичной параболой с ветвями вверх (коэффициент при $a^2$ положителен). Наименьшее значение такой функции достигается в её вершине.
Координата вершины параболы $S(a) = Aa^2+Ba+C$ находится по формуле $a_0 = -\frac{B}{2A}$.
$a = -\frac{48}{2 \cdot 24} = -\frac{48}{48} = -1$.
При этом значении $a$ площадь будет наименьшей.

Ответ: $-1$.

3.

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{-6x - x^2}$. Геометрический смысл интеграла – это площадь под графиком этой функции.
Преобразуем уравнение кривой:
$y = \sqrt{-6x - x^2}$
При условии $y \ge 0$, возведем в квадрат:
$y^2 = -6x - x^2$
$x^2 + 6x + y^2 = 0$
Выделим полный квадрат для переменной $x$:
$(x^2 + 6x + 9) - 9 + y^2 = 0$
$(x+3)^2 + y^2 = 9$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-3, 0)$ и радиусом $r=3$.
Так как исходная функция $y = \sqrt{-6x - x^2}$ (с положительным знаком корня), она описывает верхнюю половину этой окружности.
Интеграл $\int_{-3}^{0} \sqrt{-6x - x^2} dx$ представляет собой площадь под верхней полуокружностью на отрезке от $x=-3$ до $x=0$. Этот отрезок соответствует ровно четверти окружности (от центра по оси $x$ до крайней правой точки).
Площадь всего круга равна $A = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$.
Следовательно, искомое значение интеграла равно площади четверти круга:
$S = \frac{1}{4} A = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{9\pi}{4}$.

4.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком $y=f(x)$, осью $y=0$ и прямыми $x=a, x=b$, вычисляется по формуле дисков:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данной задаче фигура ограничена $y=\sqrt{x+5}$, $y=0$ (ось абсцисс) и $x=4$. Левой границей является точка пересечения $y=\sqrt{x+5}$ и $y=0$, то есть $\sqrt{x+5}=0 \implies x=-5$.
Таким образом, $f(x) = \sqrt{x+5}$, пределы интегрирования от $a=-5$ до $b=4$.
Найдём $[f(x)]^2 = (\sqrt{x+5})^2 = x+5$.

Подставим в формулу и вычислим интеграл:
$V = \pi \int_{-5}^{4} (x+5) dx$
$V = \pi [\frac{x^2}{2} + 5x]_{-5}^{4}$
$V = \pi ((\frac{4^2}{2} + 5 \cdot 4) - (\frac{(-5)^2}{2} + 5 \cdot (-5)))$
$V = \pi ((\frac{16}{2} + 20) - (\frac{25}{2} - 25))$
$V = \pi ((8 + 20) - (-\frac{25}{2})) = \pi (28 + \frac{25}{2}) = \pi (\frac{56+25}{2}) = \frac{81\pi}{2}$

Ответ: $\frac{81\pi}{2}$.

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 1 - 2i$; $z_2 = 2 + 3i$. Вычислите:

1) $z_1 - 4z_2$;

2) $\bar{z_1} + 4z_2$;

3) $|z_1 z_2|$;

4) $\frac{z_1}{z_2}$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 7i)(1 - 7i) - i(3 - 5i)^2$;

2) $\frac{1+5i}{1-5i} - \frac{1-5i}{1+5i}$;

3) $(2 + 3i)^4$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = 6 + 6i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{57}$.

1. Дано: $z_1 = 1 - 2i$; $z_2 = 2 + 3i$. Вычислите:

1) $z_1 - 4z_2$

Подставляем заданные значения $z_1$ и $z_2$ в выражение:

$z_1 - 4z_2 = (1 - 2i) - 4(2 + 3i)$

Раскрываем скобки:

$1 - 2i - 8 - 12i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(1 - 8) + (-2 - 12)i = -7 - 14i$

Ответ: $-7 - 14i$

2) $\overline{z_1} + 4z_2$

Сначала находим комплексно-сопряженное число для $z_1$. Если $z_1 = 1 - 2i$, то $\overline{z_1} = 1 + 2i$.

Теперь подставляем значения в выражение:

$\overline{z_1} + 4z_2 = (1 + 2i) + 4(2 + 3i)$

Раскрываем скобки:

$1 + 2i + 8 + 12i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(1 + 8) + (2 + 12)i = 9 + 14i$

Ответ: $9 + 14i$

3) $|z_1 z_2|$

Используем свойство модуля произведения комплексных чисел: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.

Находим модуль $z_1$:

$|z_1| = |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Находим модуль $z_2$:

$|z_2| = |2 + 3i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Перемножаем модули:

$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}$

Ответ: $\sqrt{65}$

4) $\frac{z_1}{z_2}$

Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $z_2 = 2 + 3i$ есть $\overline{z_2} = 2 - 3i$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 - 2i}{2 + 3i} = \frac{(1 - 2i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)}$

Вычисляем числитель:

$(1 - 2i)(2 - 3i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3i - 2i \cdot 2 + (-2i)(-3i) = 2 - 3i - 4i + 6i^2 = 2 - 7i - 6 = -4 - 7i$

Вычисляем знаменатель:

$(2 + 3i)(2 - 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13$

Записываем результат деления:

$\frac{-4 - 7i}{13} = -\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$

Ответ: $-\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 7i)(1 - 7i) - i(3 - 5i)^2$

Упростим первую часть выражения по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(1 + 7i)(1 - 7i) = 1^2 - (7i)^2 = 1 - 49i^2 = 1 - 49(-1) = 50$

Упростим вторую часть, возведя в квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(3 - 5i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5i + (5i)^2 = 9 - 30i + 25i^2 = 9 - 30i - 25 = -16 - 30i$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$50 - i(-16 - 30i) = 50 + 16i + 30i^2 = 50 + 16i + 30(-1) = 50 + 16i - 30 = 20 + 16i$

Ответ: $20 + 16i$

2) $\frac{1 + 5i}{1 - 5i} - \frac{1 - 5i}{1 + 5i}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - 5i)(1 + 5i)$:

$\frac{(1 + 5i)^2 - (1 - 5i)^2}{(1 - 5i)(1 + 5i)}$

Знаменатель: $(1 - 5i)(1 + 5i) = 1^2 - (5i)^2 = 1 - 25i^2 = 1 + 25 = 26$.

Числитель: $(1 + 5i)^2 - (1 - 5i)^2 = (1 + 10i + 25i^2) - (1 - 10i + 25i^2) = (1 + 10i - 25) - (1 - 10i - 25) = (-24 + 10i) - (-24 - 10i) = -24 + 10i + 24 + 10i = 20i$.

Получаем:

$\frac{20i}{26} = \frac{10}{13}i$

Ответ: $\frac{10}{13}i$

3) $(2 + 3i)^4$

Представим выражение в виде $((2 + 3i)^2)^2$.

Сначала возведем в квадрат $(2 + 3i)$:

$(2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(-5 + 12i)^2 = (-5)^2 + 2(-5)(12i) + (12i)^2 = 25 - 120i + 144i^2 = 25 - 120i - 144 = -119 - 120i$

Ответ: $-119 - 120i$

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = 6 + 6i$.

Пусть искомое комплексное число $z = x + yi$, где $x, y$ – действительные числа.

Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$.

Приравнивая $z^2$ к $6 + 6i$, получаем систему уравнений для действительной и мнимой частей:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 6 \\ 2xy = 6 \end{cases}$

Также мы можем приравнять модули: $|z^2| = |6 + 6i|$.

$|z|^2 = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

Так как $|z|^2 = x^2 + y^2$, получаем третье уравнение: $x^2 + y^2 = 6\sqrt{2}$.

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 6 \\ x^2 + y^2 = 6\sqrt{2} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем: $2x^2 = 6 + 6\sqrt{2} \implies x^2 = 3 + 3\sqrt{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{3 + 3\sqrt{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $2y^2 = 6\sqrt{2} - 6 \implies y^2 = 3\sqrt{2} - 3$. Отсюда $y = \pm\sqrt{3\sqrt{2} - 3}$.

Из уравнения $2xy = 6$ следует, что $xy = 3$, то есть $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.

Таким образом, получаем два решения:

$z_1 = \sqrt{3 + 3\sqrt{2}} + i\sqrt{3\sqrt{2} - 3}$

$z_2 = -\sqrt{3 + 3\sqrt{2}} - i\sqrt{3\sqrt{2} - 3}$

Ответ: $z = \pm(\sqrt{3 + 3\sqrt{2}} + i\sqrt{3\sqrt{2} - 3})$

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{57}$.

Эта сумма является суммой $58$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a = 1$ и знаменателем $q = i$.

Воспользуемся свойством степеней мнимой единицы: сумма любых четырех последовательных степеней $i$ равна нулю. Например, $i^1+i^2+i^3+i^4 = i-1-i+1=0$.

В нашей сумме 58 слагаемых. Разделим 58 на 4: $58 = 14 \cdot 4 + 2$.

Это означает, что сумму можно сгруппировать в 14 блоков по 4 слагаемых, каждый из которых в сумме дает 0, и два оставшихся слагаемых.

$S = (1 + i + i^2 + i^3) + (i^4 + i^5 + i^6 + i^7) + \dots + (i^{52} + i^{53} + i^{54} + i^{55}) + i^{56} + i^{57}$

Сумма первых 56 членов (14 блоков по 4) равна 0. Таким образом, вся сумма равна сумме двух последних членов:

$S = i^{56} + i^{57}$

Найдем эти значения:

$i^{56} = (i^4)^{14} = 1^{14} = 1$

$i^{57} = i^{56} \cdot i = 1 \cdot i = i$

Следовательно, сумма равна:

$S = 1 + i$

Ответ: $1 + i$