Номер 13, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 1 - 2i$; $z_2 = 2 + 3i$. Вычислите:

1) $z_1 - 4z_2$;

2) $\bar{z_1} + 4z_2$;

3) $|z_1 z_2|$;

4) $\frac{z_1}{z_2}$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 7i)(1 - 7i) - i(3 - 5i)^2$;

2) $\frac{1+5i}{1-5i} - \frac{1-5i}{1+5i}$;

3) $(2 + 3i)^4$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = 6 + 6i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{57}$.

1. Дано: $z_1 = 1 - 2i$; $z_2 = 2 + 3i$. Вычислите:

1) $z_1 - 4z_2$

Подставляем заданные значения $z_1$ и $z_2$ в выражение:

$z_1 - 4z_2 = (1 - 2i) - 4(2 + 3i)$

Раскрываем скобки:

$1 - 2i - 8 - 12i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(1 - 8) + (-2 - 12)i = -7 - 14i$

Ответ: $-7 - 14i$

2) $\overline{z_1} + 4z_2$

Сначала находим комплексно-сопряженное число для $z_1$. Если $z_1 = 1 - 2i$, то $\overline{z_1} = 1 + 2i$.

Теперь подставляем значения в выражение:

$\overline{z_1} + 4z_2 = (1 + 2i) + 4(2 + 3i)$

Раскрываем скобки:

$1 + 2i + 8 + 12i$

Группируем действительные и мнимые части:

$(1 + 8) + (2 + 12)i = 9 + 14i$

Ответ: $9 + 14i$

3) $|z_1 z_2|$

Используем свойство модуля произведения комплексных чисел: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.

Находим модуль $z_1$:

$|z_1| = |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Находим модуль $z_2$:

$|z_2| = |2 + 3i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Перемножаем модули:

$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}$

Ответ: $\sqrt{65}$

4) $\frac{z_1}{z_2}$

Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $z_2 = 2 + 3i$ есть $\overline{z_2} = 2 - 3i$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 - 2i}{2 + 3i} = \frac{(1 - 2i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)}$

Вычисляем числитель:

$(1 - 2i)(2 - 3i) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3i - 2i \cdot 2 + (-2i)(-3i) = 2 - 3i - 4i + 6i^2 = 2 - 7i - 6 = -4 - 7i$

Вычисляем знаменатель:

$(2 + 3i)(2 - 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13$

Записываем результат деления:

$\frac{-4 - 7i}{13} = -\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$

Ответ: $-\frac{4}{13} - \frac{7}{13}i$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 7i)(1 - 7i) - i(3 - 5i)^2$

Упростим первую часть выражения по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(1 + 7i)(1 - 7i) = 1^2 - (7i)^2 = 1 - 49i^2 = 1 - 49(-1) = 50$

Упростим вторую часть, возведя в квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(3 - 5i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5i + (5i)^2 = 9 - 30i + 25i^2 = 9 - 30i - 25 = -16 - 30i$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$50 - i(-16 - 30i) = 50 + 16i + 30i^2 = 50 + 16i + 30(-1) = 50 + 16i - 30 = 20 + 16i$

Ответ: $20 + 16i$

2) $\frac{1 + 5i}{1 - 5i} - \frac{1 - 5i}{1 + 5i}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - 5i)(1 + 5i)$:

$\frac{(1 + 5i)^2 - (1 - 5i)^2}{(1 - 5i)(1 + 5i)}$

Знаменатель: $(1 - 5i)(1 + 5i) = 1^2 - (5i)^2 = 1 - 25i^2 = 1 + 25 = 26$.

Числитель: $(1 + 5i)^2 - (1 - 5i)^2 = (1 + 10i + 25i^2) - (1 - 10i + 25i^2) = (1 + 10i - 25) - (1 - 10i - 25) = (-24 + 10i) - (-24 - 10i) = -24 + 10i + 24 + 10i = 20i$.

Получаем:

$\frac{20i}{26} = \frac{10}{13}i$

Ответ: $\frac{10}{13}i$

3) $(2 + 3i)^4$

Представим выражение в виде $((2 + 3i)^2)^2$.

Сначала возведем в квадрат $(2 + 3i)$:

$(2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(-5 + 12i)^2 = (-5)^2 + 2(-5)(12i) + (12i)^2 = 25 - 120i + 144i^2 = 25 - 120i - 144 = -119 - 120i$

Ответ: $-119 - 120i$

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = 6 + 6i$.

Пусть искомое комплексное число $z = x + yi$, где $x, y$ – действительные числа.

Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$.

Приравнивая $z^2$ к $6 + 6i$, получаем систему уравнений для действительной и мнимой частей:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 6 \\ 2xy = 6 \end{cases}$

Также мы можем приравнять модули: $|z^2| = |6 + 6i|$.

$|z|^2 = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

Так как $|z|^2 = x^2 + y^2$, получаем третье уравнение: $x^2 + y^2 = 6\sqrt{2}$.

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 6 \\ x^2 + y^2 = 6\sqrt{2} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем: $2x^2 = 6 + 6\sqrt{2} \implies x^2 = 3 + 3\sqrt{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{3 + 3\sqrt{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $2y^2 = 6\sqrt{2} - 6 \implies y^2 = 3\sqrt{2} - 3$. Отсюда $y = \pm\sqrt{3\sqrt{2} - 3}$.

Из уравнения $2xy = 6$ следует, что $xy = 3$, то есть $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.

Таким образом, получаем два решения:

$z_1 = \sqrt{3 + 3\sqrt{2}} + i\sqrt{3\sqrt{2} - 3}$

$z_2 = -\sqrt{3 + 3\sqrt{2}} - i\sqrt{3\sqrt{2} - 3}$

Ответ: $z = \pm(\sqrt{3 + 3\sqrt{2}} + i\sqrt{3\sqrt{2} - 3})$

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{57}$.

Эта сумма является суммой $58$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a = 1$ и знаменателем $q = i$.

Воспользуемся свойством степеней мнимой единицы: сумма любых четырех последовательных степеней $i$ равна нулю. Например, $i^1+i^2+i^3+i^4 = i-1-i+1=0$.

В нашей сумме 58 слагаемых. Разделим 58 на 4: $58 = 14 \cdot 4 + 2$.

Это означает, что сумму можно сгруппировать в 14 блоков по 4 слагаемых, каждый из которых в сумме дает 0, и два оставшихся слагаемых.

$S = (1 + i + i^2 + i^3) + (i^4 + i^5 + i^6 + i^7) + \dots + (i^{52} + i^{53} + i^{54} + i^{55}) + i^{56} + i^{57}$

Сумма первых 56 членов (14 блоков по 4) равна 0. Таким образом, вся сумма равна сумме двух последних членов:

$S = i^{56} + i^{57}$

Найдем эти значения:

$i^{56} = (i^4)^{14} = 1^{14} = 1$

$i^{57} = i^{56} \cdot i = 1 \cdot i = i$

Следовательно, сумма равна:

$S = 1 + i$

Ответ: $1 + i$