Номер 15, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень $n$-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 3\left(\cos \frac{5\pi}{8} - i\sin \frac{5\pi}{8}\right)$, $z_2 = 2\left(\cos \frac{3\pi}{8} + i\sin \frac{3\pi}{8}\right)$;

2) $z_1 = 6\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)$, $z_2 = -\sqrt{3} - i$.

2. Найдите значение выражения $(\sqrt{3} + i)^8$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = 1 - \sqrt{3}i$.

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 3(\cos\frac{5\pi}{8} - i\sin\frac{5\pi}{8}), z_2 = 2(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8})$

Для выполнения операций представим число $z_1$ в стандартной тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$. Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($-\sin\alpha = \sin(-\alpha)$), получаем:

$z_1 = 3(\cos(-\frac{5\pi}{8}) + i\sin(-\frac{5\pi}{8}))$

Таким образом, для $z_1$ модуль $r_1 = 3$, а аргумент $\phi_1 = -\frac{5\pi}{8}$.

Для $z_2$ модуль $r_2 = 2$, а аргумент $\phi_2 = \frac{3\pi}{8}$.

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме находится по формуле: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2))$.

$z_1 z_2 = 3 \cdot 2 (\cos(-\frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}) + i\sin(-\frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8})) = 6(\cos(-\frac{2\pi}{8}) + i\sin(-\frac{2\pi}{8}))$

$= 6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} - 3i\sqrt{2}$

Частное комплексных чисел находится по формуле: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2}(\cos(-\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}) + i\sin(-\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8})) = \frac{3}{2}(\cos(-\frac{8\pi}{8}) + i\sin(-\frac{8\pi}{8}))$

$= \frac{3}{2}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = \frac{3}{2}(-1 + i \cdot 0) = -1.5$

Ответ: $z_1 z_2 = 3\sqrt{2} - 3i\sqrt{2}$; $\frac{z_1}{z_2} = -1.5$.

2) $z_1 = 6(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}), z_2 = -\sqrt{3} - i$

Число $z_1$ уже дано в тригонометрической форме: $r_1 = 6$, $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Представим число $z_2$ в тригонометрической форме. Найдем его модуль и аргумент.

Модуль: $r_2 = |z_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\phi_2$: $\cos\phi_2 = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi_2 = \frac{-1}{2}$. Угол находится в III четверти, следовательно $\phi_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Итак, $z_2 = 2(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$.

Найдем произведение:

$z_1 z_2 = 6 \cdot 2 (\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{6})) = 12(\cos(\frac{8\pi}{6}) + i\sin(\frac{8\pi}{6}))$

$= 12(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 12(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -6 - 6i\sqrt{3}$

Найдем частное:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{2}(\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{7\pi}{6})) = 3(\cos(-\frac{6\pi}{6}) + i\sin(-\frac{6\pi}{6}))$

$= 3(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = 3(-1 + i \cdot 0) = -3$

Ответ: $z_1 z_2 = -6 - 6i\sqrt{3}$; $\frac{z_1}{z_2} = -3$.

2. Найдите значение выражения $(\sqrt{3} + i)^8$.

Для возведения комплексного числа в степень используем формулу Муавра: $[r(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

Сначала представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{1}{2}$. Угол находится в I четверти, $\phi = \frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Теперь возведем в 8-ю степень:

$(\sqrt{3} + i)^8 = [2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})]^8 = 2^8 (\cos(8 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(8 \cdot \frac{\pi}{6}))$

$= 256(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 256(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128i\sqrt{3}$

Ответ: $-128 - 128i\sqrt{3}$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = 1 - \sqrt{3}i$.

Сначала найдем корни третьей степени из числа $z = 1 - \sqrt{3}i$. Для этого представим $z$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |1 - \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол находится в IV четверти, $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Корни $n$-ой степени из комплексного числа находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\phi + 2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\phi + 2\pi k}{n}))$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $r=2$, $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

$w_k = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3}))$

Найдем три корня для $k=0, 1, 2$:

При $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9}))$.

При $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3 + 2\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3 + 2\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{5\pi}{9}) + i\sin(\frac{5\pi}{9}))$.

При $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3 + 4\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3 + 4\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{11\pi}{9}) + i\sin(\frac{11\pi}{9}))$.

Для изображения этих чисел на комплексной плоскости:

1. Все три корня имеют одинаковый модуль $R = \sqrt[3]{2}$, поэтому они лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$.
2. Аргументы корней: $\phi_0 = -\frac{\pi}{9} = -20^\circ$, $\phi_1 = \frac{5\pi}{9} = 100^\circ$, $\phi_2 = \frac{11\pi}{9} = 220^\circ$.
3. На комплексной плоскости (ось абсцисс - действительная, ось ординат - мнимая) нужно начертить окружность радиуса $\sqrt[3]{2}$.
4. На этой окружности отметить три точки:
   • $w_0$ - в IV квадранте, под углом $20^\circ$ по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.
   • $w_1$ - во II квадранте, под углом $100^\circ$ против часовой стрелки.
   • $w_2$ - в III квадранте, под углом $220^\circ$ против часовой стрелки.
5. Эти три точки являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность.

Ответ: Корнями являются числа $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9}))$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{5\pi}{9}) + i\sin(\frac{5\pi}{9}))$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{11\pi}{9}) + i\sin(\frac{11\pi}{9}))$. На комплексной плоскости они образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt[3]{2}$.