Номер 18, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Аксиомы теории вероятностей

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку — 0,2, в восьмёрку — 0,4. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) не меньше 8 очков;

2) меньше 9 очков;

3) больше 8 очков?

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках чётная; событие $B$ — в том, что по крайней одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

3. В школе работают две спортивные секции — шахматная и шашечная. Вероятность встретить среди учащихся школы шахматиста равна 14%, шашиста — 10%, а ученика, посещающего хотя бы одну секцию, — 17%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает обе указанные секции?

1.

Обозначим события: $A_{10}$ — попадание в десятку, $A_9$ — попадание в девятку, $A_8$ — попадание в восьмёрку. По условию, вероятности этих событий равны:

$P(A_{10}) = 0.05$

$P(A_9) = 0.2$

$P(A_8) = 0.4$

Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя попасть в разные зоны.

1) не меньше 8 очков

Событие "набрать не меньше 8 очков" означает, что стрелок попадет в восьмёрку, девятку или десятку. Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(\text{не меньше 8 очков}) = P(A_8 \cup A_9 \cup A_{10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10})$

$P(\text{не меньше 8 очков}) = 0.4 + 0.2 + 0.05 = 0.65$

Ответ: 0,65

2) меньше 9 очков

Событие "набрать меньше 9 очков" является противоположным событию "набрать не меньше 9 очков" (т.е. набрать 9 или 10 очков). Сначала найдем вероятность набрать не меньше 9 очков:

$P(\text{не меньше 9 очков}) = P(A_9 \cup A_{10}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0.2 + 0.05 = 0.25$

Вероятность противоположного события "набрать меньше 9 очков" равна:

$P(\text{меньше 9 очков}) = 1 - P(\text{не меньше 9 очков}) = 1 - 0.25 = 0.75$

Ответ: 0,75

3) больше 8 очков

Событие "набрать больше 8 очков" означает, что стрелок наберет 9 или 10 очков. Вероятность этого события:

$P(\text{больше 8 очков}) = P(A_9 \cup A_{10}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0.2 + 0.05 = 0.25$

Ответ: 0,25

2.

В каждой из двух колод по 3 карточки с номерами 1, 2, 3. При выборе по одной карточке из каждой колоды общее число равновозможных исходов равно $3 \times 3 = 9$. Выпишем все возможные пары чисел $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — из второй:

$\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$

Событие A: сумма очков на выбранных карточках чётная. Сумма двух чисел чётна, если оба числа чётные или оба нечётные.

Исходы, благоприятствующие событию A:

Оба нечётные: $(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)$

Оба чётные: $(2,2)$

Всего 5 благоприятствующих исходов. $A = \{(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3)\}$.

Вероятность события A: $P(A) = 5/9$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 3.

Исходы, благоприятствующие событию B: $(1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)$.

Всего 5 благоприятствующих исходов. $B = \{(1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$.

Вероятность события B: $P(B) = 5/9$.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию A, то есть "сумма очков на карточках нечётная". Вероятность противоположного события можно найти по формуле:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 5/9 = 4/9$

Ответ: 4/9

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ означает, что произошло и событие A, и событие B, то есть "сумма очков чётная, и по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Найдем исходы, которые принадлежат обоим множествам A и B:

$A \cap B = \{(1,3), (3,1), (3,3)\}$

Число благоприятствующих исходов равно 3. Вероятность этого события:

$P(A \cap B) = 3/9 = 1/3$

Ответ: 1/3

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B, то есть "сумма очков чётная, или по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Вероятность объединения событий вычисляется по формуле:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A \cup B) = 5/9 + 5/9 - 3/9 = (10 - 3)/9 = 7/9$

Ответ: 7/9

3.

Пусть событие A — выбранный учащийся занимается в шахматной секции, а событие B — в шашечной.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

Вероятность встретить шахматиста: $P(A) = 14\% = 0.14$.

Вероятность встретить шашиста: $P(B) = 10\% = 0.10$.

Вероятность встретить ученика, посещающего хотя бы одну секцию (объединение событий A и B): $P(A \cup B) = 17\% = 0.17$.

Нам нужно найти вероятность того, что выбранный наугад учащийся посещает обе секции. Это соответствует нахождению вероятности пересечения событий A и B, то есть $P(A \cap B)$.

Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Выразим из этой формулы искомую вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим известные значения:

$P(A \cap B) = 0.14 + 0.10 - 0.17 = 0.24 - 0.17 = 0.07$

Таким образом, вероятность того, что выбранный учащийся посещает обе секции, равна 0,07 или 7%.

Ответ: 0,07