Номер 20, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Независимые события

1. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка ни разу не выпадет?

2. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет $0.9$, второго — $0.6$, третьего — $0.5$. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) ровно два попадания?

3. Восемь стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна $0.6$. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

Вероятность выпадения шестёрки при одном броске игрального кубика составляет $\frac{1}{6}$. Следовательно, вероятность того, что шестёрка не выпадет, равна $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность того, что шестёрка не выпадет ни разу за три броска, равна произведению вероятностей этого события для каждого броска:
$P(\text{нет шестёрки}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$.

Ответ: $\frac{125}{216}$.

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка как $P_1, P_2, P_3$ и вероятности промаха как $Q_1, Q_2, Q_3$.
Из условия задачи имеем:
$P_1 = 0,9$, следовательно, вероятность промаха $Q_1 = 1 - 0,9 = 0,1$.
$P_2 = 0,6$, следовательно, вероятность промаха $Q_2 = 1 - 0,6 = 0,4$.
$P_3 = 0,5$, следовательно, вероятность промаха $Q_3 = 1 - 0,5 = 0,5$.
Выстрелы являются независимыми событиями.

Вероятность того, что все три стрелка промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:
$P(\text{3 промаха}) = Q_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,1 \times 0,4 \times 0,5 = 0,02$.

Ответ: 0,02.

Событие "ровно два попадания" состоит из трёх несовместных исходов:
1. Попали 1-й и 2-й, 3-й промахнулся. Вероятность: $P_1 \times P_2 \times Q_3 = 0,9 \times 0,6 \times 0,5 = 0,27$.
2. Попали 1-й и 3-й, 2-й промахнулся. Вероятность: $P_1 \times Q_2 \times P_3 = 0,9 \times 0,4 \times 0,5 = 0,18$.
3. Попали 2-й и 3-й, 1-й промахнулся. Вероятность: $Q_1 \times P_2 \times P_3 = 0,1 \times 0,6 \times 0,5 = 0,03$.
Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих трёх исходов:
$P(\text{2 попадания}) = 0,27 + 0,18 + 0,03 = 0,48$.

Ответ: 0,48.

Вероятность поражения цели означает, что попадёт хотя бы один из восьми стрелков. Проще найти вероятность противоположного события — что цель не будет поражена, то есть все восемь стрелков промахнутся.
Вероятность попадания для одного стрелка равна $p = 0,6$.
Следовательно, вероятность промаха для одного стрелка равна $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.
Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все восемь стрелков промахнутся, равна произведению их вероятностей промаха:
$P(\text{все промахнулись}) = q^8 = (0,4)^8 = 0,00065536$.
Вероятность поражения цели (хотя бы одно попадание) является противоположным событием к "все промахнулись", поэтому её можно найти, вычтя вероятность промаха всех стрелков из единицы:
$P(\text{поражение цели}) = 1 - P(\text{все промахнулись}) = 1 - (0,4)^8 = 1 - 0,00065536 = 0,99934464$.

Ответ: 0,99934464.