Номер 3, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $(7^x + 3)^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6};$

2) $7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x;$

3) $(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^x + (\sqrt{5 - 2\sqrt{6}})^x = 10.$

1) $(7^x+3)x-4 = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^x + 6$

В левой части уравнения, скорее всего, допущена опечатка. Стандартный вид подобных уравнений предполагает, что левая часть является квадратным трехчленом относительно $7^x$. Предположим, что исходное уравнение должно выглядеть так: $7^{2x} + 3 \cdot 7^x - 4 = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^x + 6$.
Решим это уравнение.
Сначала преобразуем правую часть уравнения:
$\left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^x + 6 = (7^{-1})^x \cdot (7^2)^x + 6 = 7^{-x} \cdot 7^{2x} + 6 = 7^{-x+2x} + 6 = 7^x + 6$.
Теперь уравнение принимает вид:
$7^{2x} + 3 \cdot 7^x - 4 = 7^x + 6$.
Перенесем все члены в левую часть:
$7^{2x} + 3 \cdot 7^x - 7^x - 4 - 6 = 0$
$7^{2x} + 2 \cdot 7^x - 10 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $7^x$. Сделаем замену: пусть $y = 7^x$. Так как $7^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.
$y^2 + 2y - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -1 \pm \sqrt{11}$.
Получаем два корня: $y_1 = -1 + \sqrt{11}$ и $y_2 = -1 - \sqrt{11}$.
Условию $y > 0$ удовлетворяет только корень $y_1 = \sqrt{11} - 1$ (так как $\sqrt{11} > \sqrt{9}=3$, то $\sqrt{11}-1>0$).
Вернемся к замене:
$7^x = \sqrt{11} - 1$.
Прологарифмируем обе части по основанию 7:
$x = \log_7(\sqrt{11}-1)$.
Ответ: $x = \log_7(\sqrt{11}-1)$.

2) $7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x$

Это однородное показательное уравнение. Представим основания степеней через простые множители:
$49 = 7^2$, $28 = 4 \cdot 7$, $16 = 4^2$.
Уравнение примет вид:
$7 \cdot (7^2)^x + 10 \cdot (4 \cdot 7)^x = 8 \cdot (4^2)^x$
$7 \cdot (7^x)^2 + 10 \cdot 4^x \cdot 7^x = 8 \cdot (4^x)^2$.
Разделим обе части уравнения на $(4^x)^2$, которое не равно нулю ни при каком $x$:
$7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(4^x)^2} + 10 \cdot \frac{4^x \cdot 7^x}{(4^x)^2} = 8 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2}$
$7 \cdot \left(\frac{7^x}{4^x}\right)^2 + 10 \cdot \frac{7^x}{4^x} - 8 = 0$
$7 \cdot \left(\left(\frac{7}{4}\right)^x\right)^2 + 10 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x - 8 = 0$.
Сделаем замену: пусть $y = \left(\frac{7}{4}\right)^x$. Так как основание степени положительно, $y > 0$.
$7y^2 + 10y - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение:
$D = 10^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 100 + 224 = 324 = 18^2$.
$y_{1,2} = \frac{-10 \pm 18}{14}$.
$y_1 = \frac{-10 + 18}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
$y_2 = \frac{-10 - 18}{14} = \frac{-28}{14} = -2$.
Условию $y > 0$ удовлетворяет только корень $y_1 = \frac{4}{7}$.
Вернемся к замене:
$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \frac{4}{7}$.
Так как $\frac{4}{7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$, то
$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$.
Отсюда $x = -1$.
Ответ: $x = -1$.

3) $\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)^x + \left(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right)^x = 10$

Упростим подкоренные выражения, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для $5+2\sqrt{6}$ ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=5$ и $2ab=2\sqrt{6}$, то есть $ab=\sqrt{6}$. Подбором находим, что $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$.
$5+2\sqrt{6} = 3+2+2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
Аналогично, $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
Тогда основания степеней в уравнении равны:
$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.
$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = 10$.
Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.
Следовательно, $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}$.
Сделаем замену: пусть $y = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$. Тогда $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^x = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение сводится к:
$y + \frac{1}{y} = 10$.
Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):
$y^2 + 1 = 10y$
$y^2 - 10y + 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 - 4 = 96$.
$y_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
Получаем два случая:
1. $y = 5 + 2\sqrt{6}$. Вернемся к замене: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5+2\sqrt{6}$.
Так как $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, то $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, откуда $x=2$.
2. $y = 5 - 2\sqrt{6}$. Вернемся к замене: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5-2\sqrt{6}$.
Так как $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$, то $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$, откуда $x=-2$.
Ответ: $x = \pm 2$.