Номер 2, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Решите уравнение:

1) $ \log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x - 1); $

2) $ \log_2 x + \log_2(x - 3) = 2. $

1)

Дано уравнение $log_7(2x + 9) = log_7(x^2 + 5x - 1)$.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы, при условии, что они положительны. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} 2x + 9 > 0 \\ x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим уравнение, приравняв аргументы логарифмов:

$2x + 9 = x^2 + 5x - 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$x^2 + 5x - 2x - 1 - 9 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Достаточно проверить одно из условий, например, $2x + 9 > 0$, так как в случае верного корня аргументы логарифмов равны.

Проверка для $x_1 = -5$:

$2(-5) + 9 = -10 + 9 = -1$.

Так как $-1 < 0$, корень $x_1 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Проверка для $x_2 = 2$:

$2(2) + 9 = 4 + 9 = 13$.

$13 > 0$, условие выполняется. Проверим и второе выражение: $2^2 + 5(2) - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$. $13 > 0$, условие также выполняется.

Следовательно, решением уравнения является $x = 2$.

Ответ: 2.

2)

Дано уравнение $log_2x + log_2(x - 3) = 2$.

Найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Используем свойство суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a(bc)$.

$log_2(x(x - 3)) = 2$

Теперь воспользуемся определением логарифма: $log_a b = c \iff a^c = b$.

$x(x - 3) = 2^2$

$x^2 - 3x = 4$

Перенесем 4 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 3$, поэтому является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 4.