Страница 53 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Найдите область определения функции $y = \frac{7}{\log_2(x+4)}$.

1. Область определения функции $y = \frac{7}{\log_2(x + 4)}$ находится из следующих двух условий:

1. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным.
$x + 4 > 0$
$x > -4$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$\log_2(x+4) \neq 0$
Поскольку логарифм равен нулю только тогда, когда его аргумент равен 1 (т.е., $\log_a(1) = 0$), то:
$x + 4 \neq 1$
$x \neq 1 - 4$
$x \neq -3$

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему:

$\begin{cases} x > -4 \\ x \neq -3\end{cases}$

Решением этой системы является множество всех чисел, которые больше $-4$, за исключением числа $-3$. На числовой прямой это соответствует двум интервалам: от $-4$ до $-3$ и от $-3$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Решите уравнение:

1) $ \log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x - 1); $

2) $ \log_2 x + \log_2(x - 3) = 2. $

1)

Дано уравнение $log_7(2x + 9) = log_7(x^2 + 5x - 1)$.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы, при условии, что они положительны. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} 2x + 9 > 0 \\ x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим уравнение, приравняв аргументы логарифмов:

$2x + 9 = x^2 + 5x - 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$x^2 + 5x - 2x - 1 - 9 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Достаточно проверить одно из условий, например, $2x + 9 > 0$, так как в случае верного корня аргументы логарифмов равны.

Проверка для $x_1 = -5$:

$2(-5) + 9 = -10 + 9 = -1$.

Так как $-1 < 0$, корень $x_1 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Проверка для $x_2 = 2$:

$2(2) + 9 = 4 + 9 = 13$.

$13 > 0$, условие выполняется. Проверим и второе выражение: $2^2 + 5(2) - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$. $13 > 0$, условие также выполняется.

Следовательно, решением уравнения является $x = 2$.

Ответ: 2.

2)

Дано уравнение $log_2x + log_2(x - 3) = 2$.

Найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 3$.

Используем свойство суммы логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a(bc)$.

$log_2(x(x - 3)) = 2$

Теперь воспользуемся определением логарифма: $log_a b = c \iff a^c = b$.

$x(x - 3) = 2^2$

$x^2 - 3x = 4$

Перенесем 4 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 > 3$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 3$, поэтому является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 4.

3. Решите неравенство

$\log_{0,9}(x - 4) \ge \log_{0,9}(8 - x)$

Для решения логарифмического неравенства $ \log_{0,9}(x - 4) \ge \log_{0,9}(8 - x) $ необходимо сначала найти его область допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, что приводит к системе неравенств:
$ \begin{cases} x - 4 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} $
Решая данную систему, получаем:
$ \begin{cases} x > 4 \\ x < 8 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ представляет собой интервал $ (4; 8) $.

Далее решаем само неравенство. Основание логарифма $ 0,9 $ находится в интервале $ (0; 1) $. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$ x - 4 \le 8 - x $

Теперь решим полученное линейное неравенство:
$ x + x \le 8 + 4 $
$ 2x \le 12 $
$ x \le 6 $

Окончательное решение является пересечением найденного решения $ x \le 6 $ и области допустимых значений $ x \in (4; 8) $.
Совмещая условия $ x > 4 $ и $ x \le 6 $, получаем итоговый промежуток $ 4 < x \le 6 $.

Ответ: $ (4; 6] $

4. Вычислите значение выражения

$\frac{\log_9 27 + \log_9 3}{2\log_2 6 - \log_2 9}$

4.

Для вычисления значения выражения $\frac{\log_9 27 + \log_9 3}{2\log_2 6 - \log_2 9}$ необходимо упростить числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упростим числитель: $\log_9 27 + \log_9 3$.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$.

$\log_9 27 + \log_9 3 = \log_9 (27 \cdot 3) = \log_9 81$.

Чтобы найти значение $\log_9 81$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 9, чтобы получить 81. Так как $9^2 = 81$, то $\log_9 81 = 2$.

Таким образом, числитель равен 2.

2. Упростим знаменатель: $2\log_2 6 - \log_2 9$.

Сначала применим свойство степени логарифма $n \log_a x = \log_a (x^n)$ к первому слагаемому:

$2\log_2 6 = \log_2 (6^2) = \log_2 36$.

Теперь выражение в знаменателе имеет вид: $\log_2 36 - \log_2 9$.

Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$.

$\log_2 36 - \log_2 9 = \log_2 (\frac{36}{9}) = \log_2 4$.

Чтобы найти значение $\log_2 4$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 2, чтобы получить 4. Так как $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.

Таким образом, знаменатель равен 2.

3. Вычислим итоговое значение выражения, подставив найденные значения числителя и знаменателя:

$\frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

5. Решите уравнение:

1) $1 + 2\log_x 5 = \log_5 x;$

2) $2\log_7(x - 2) = \log_7(x - 10)^2 - 2.$

1) $1 + 2\log_x 5 = \log_5 x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля и не равно единице ($x > 0$, $x \neq 1$), а подлогарифмическое выражение $x$ в правой части должно быть больше нуля ($x > 0$).
Таким образом, ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Для решения уравнения приведем логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Применим ее к члену $2\log_x 5$:
$\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$1 + 2 \cdot \frac{1}{\log_5 x} = \log_5 x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Так как $x \neq 1$, то $\log_5 x \neq \log_5 1$, следовательно, $t \neq 0$.
Уравнение с новой переменной:
$1 + \frac{2}{t} = t$

Умножим обе части уравнения на $t$ (что возможно, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:
$t + 2 = t^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение корней равно -2. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Или через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
$t_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$t_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Выполним обратную замену:
1. Если $t = 2$, то $\log_5 x = 2$. По определению логарифма, $x = 5^2 = 25$.
2. Если $t = -1$, то $\log_5 x = -1$. По определению логарифма, $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).
$x = 25$: $25 > 0$ и $25 \neq 1$. Корень подходит.
$x = \frac{1}{5}$: $\frac{1}{5} > 0$ и $\frac{1}{5} \neq 1$. Корень подходит.
Ответ: $25; \frac{1}{5}$.

2) $2\log_7(x - 2) = \log_7(x - 10)^2 - 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
1. $x - 2 > 0 \implies x > 2$
2. $(x - 10)^2 > 0 \implies x - 10 \neq 0 \implies x \neq 10$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (2, 10) \cup (10, \infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов.
Используем свойство $n \log_b a = \log_b a^n$ для левой части:
$\log_7 (x - 2)^2 = \log_7(x - 10)^2 - 2$
Представим число 2 как логарифм по основанию 7: $2 = 2 \cdot 1 = 2 \log_7 7 = \log_7 7^2 = \log_7 49$.
$\log_7 (x - 2)^2 = \log_7(x - 10)^2 - \log_7 49$

Применим свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$ для правой части:
$\log_7 (x - 2)^2 = \log_7 \frac{(x - 10)^2}{49}$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:
$(x - 2)^2 = \frac{(x - 10)^2}{49}$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на 49:
$49(x - 2)^2 = (x - 10)^2$
Это уравнение вида $a^2 = b^2$, которое равносильно $a=b$ или $a=-b$.
1. $7(x - 2) = x - 10$
$7x - 14 = x - 10$
$6x = 4$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
2. $7(x - 2) = -(x - 10)$
$7x - 14 = -x + 10$
$8x = 24$
$x = 3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 2, x \neq 10$).
Корень $x = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию $x > 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 2$ и $3 \neq 10$).
Ответ: $3$.

6. Найдите множество решений неравенства

$\log_{0,5}^2 x - \log_{0,5} x - 2 \ge 0.$

Решим неравенство $ \log_{0,5}^2 x - \log_{0,5} x - 2 \ge 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

Данное неравенство является квадратным относительно $ \log_{0,5} x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_{0,5} x $. Тогда неравенство примет вид:

$$ t^2 - t - 2 \ge 0 $$

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 - t - 2 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения равны $ t_1 = -1 $ и $ t_2 = 2 $.

Разложим левую часть неравенства на множители: $ (t - (-1))(t - 2) \ge 0 $, что равносильно $ (t+1)(t-2) \ge 0 $.

Решением этого неравенства является объединение двух промежутков: $ t \le -1 $ или $ t \ge 2 $.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ \log_{0,5} x $ вместо $t$. Получим совокупность двух неравенств:

$$ \begin{bmatrix} \log_{0,5} x \le -1 \\ \log_{0,5} x \ge 2 \end{bmatrix} $$

Решим первое неравенство: $ \log_{0,5} x \le -1 $.

Представим $-1$ как логарифм по основанию $0,5$: $ -1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5} 2 $.

Неравенство примет вид: $ \log_{0,5} x \le \log_{0,5} 2 $.

Так как основание логарифма $ 0,5 $ находится в интервале $ (0; 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$ x \ge 2 $$

Решим второе неравенство: $ \log_{0,5} x \ge 2 $.

Представим $2$ как логарифм по основанию $0,5$: $ 2 = \log_{0,5}(0,5^2) = \log_{0,5} 0,25 $.

Неравенство примет вид: $ \log_{0,5} x \ge \log_{0,5} 0,25 $.

Снова меняем знак неравенства, так как основание меньше единицы:

$$ x \le 0,25 $$

Мы получили, что решение исходного неравенства — это совокупность $ x \ge 2 $ и $ x \le 0,25 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), получаем окончательное множество решений:

Для $ x \ge 2 $: условие $x>0$ выполняется, следовательно, решением является $ [2; +\infty) $.

Для $ x \le 0,25 $: с учетом ОДЗ $x>0$, решением является $ (0; 0,25] $.

Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое решение.

Ответ: $ x \in (0; 0,25] \cup [2; +\infty) $.

7. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^{-3x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке касания.

Нам дана функция $f(x) = e^{-3x}$ и абсцисса точки касания $x_0 = 0$. Вычислим значение функции в этой точке:

$f(x_0) = f(0) = e^{-3 \cdot 0} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции.

Для нахождения производной функции $f(x) = e^{-3x}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В данном случае $u = -3x$, и ее производная $u' = -3$.

$f'(x) = (e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3x)' = -3e^{-3x}$.

3. Найдем значение производной в точке касания.

Значение производной в точке $x_0 = 0$ равно угловому коэффициенту касательной. Подставим $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$f'(x_0) = f'(0) = -3e^{-3 \cdot 0} = -3e^0 = -3 \cdot 1 = -3$.

4. Составим уравнение касательной.

Теперь подставим найденные значения $f(x_0) = 1$, $f'(x_0) = -3$ и $x_0 = 0$ в общее уравнение касательной:

$y = 1 + (-3)(x - 0)$

$y = 1 - 3x$

Таким образом, искомое уравнение касательной: $y = -3x + 1$.

Ответ: $y = -3x + 1$.

8. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\log_3(x-a) = \log_3(1-x)$ имеет решения?

Исходное уравнение: $log_3(x - a) = log_3(1 - x)$.

Данное логарифмическое уравнение равносильно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений и условия их положительности (область допустимых значений, ОДЗ):

$$ \begin{cases} x - a = 1 - x \\ x - a > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы найдем $x$ через параметр $a$:

$x - a = 1 - x$

$2x = 1 + a$

$x = \frac{1 + a}{2}$

Уравнение будет иметь решение, если найденное значение $x$ удовлетворяет неравенствам системы ОДЗ. Так как $x - a$ и $1 - x$ равны, то неравенства $x - a > 0$ и $1 - x > 0$ равносильны. Поэтому достаточно проверить выполнение одного из них.

Подставим выражение для $x$ в неравенство $1 - x > 0$:

$1 - \frac{1 + a}{2} > 0$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 - (1 + a) > 0$

$2 - 1 - a > 0$

$1 - a > 0$

Отсюда получаем условие для параметра $a$:

$a < 1$

Следовательно, исходное уравнение имеет решения при всех значениях параметра $a$, которые меньше 1.

Ответ: $a \in (-\infty; 1)$.