Страница 47 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Элементы комбинаторики и бином Ньютона

1. Сколько существует нечётных пятизначных чисел, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 4, 6, 8 используется по одному разу?

2. Туристическая группа состоит из 4 инструкторов и 8 новичков. Из неё надо сформировать команду из 6 человек, которые пересекут ледник, передвигаясь один за другим в связке. Сколько существует способов сформировать такую команду, если первым и последним в связке должны идти инструкторы?

3. Из 18 знатоков надо сформировать три команды по шесть человек в каждой для участия в игре «Что? Где? Когда?». Сколькими способами это можно сделать?

4. Найдите сумму чисел, стоящих на нечётных местах в 17-й строке треугольника Паскаля.

1. Пятизначное число является нечётным, если его последняя цифра — нечётная. Из предложенного набора цифр {1, 2, 4, 6, 8} нечётной является только цифра 1. Следовательно, последняя (пятая) цифра искомых чисел должна быть 1. Это даёт 1 вариант для пятой позиции.
Оставшиеся четыре цифры {2, 4, 6, 8} должны занять первые четыре позиции в числе, причём каждая используется один раз. Количество способов расставить 4 различные цифры по 4 позициям равно числу перестановок из 4 элементов, $P_4$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, существует 24 способа расставить цифры {2, 4, 6, 8} на первых четырёх местах, и 1 способ выбрать последнюю цифру. Общее количество таких чисел равно $24 \times 1 = 24$.
Ответ: 24.

2. Для формирования команды из 6 человек нужно выполнить несколько шагов, учитывая, что порядок в связке важен (размещения), и что на первом и последнем месте должны быть инструкторы.
1. Выбор и расстановка инструкторов на первое и последнее места. У нас есть 4 инструктора. Количество способов выбрать 2 из 4 и расставить их на две определённые позиции (первую и последнюю) — это число размещений из 4 по 2:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$ способов.
2. Заполнение оставшихся 4-х мест в связке (со 2-го по 5-е). После выбора двух инструкторов, в туристической группе осталось $4 - 2 = 2$ инструктора и 8 новичков, итого $2 + 8 = 10$ человек. На 4 свободных места нужно выбрать и расставить 4 человека из этих 10. Количество способов это сделать — число размещений из 10 по 4:
$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ способов.
3. Общее количество способов формирования команды находится по правилу произведения: нужно перемножить количество способов для каждого шага.
$N = A_4^2 \times A_{10}^4 = 12 \times 5040 = 60480$.
Ответ: 60480.

3. Требуется разбить 18 человек на три команды по 6 человек. Так как команды не имеют названий и предназначены для одной и той же игры, они считаются неразличимыми.
1. Сначала выберем 6 человек для первой команды из 18. Это можно сделать $C_{18}^6$ способами.
$C_{18}^6 = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18!}{6!12!}$.
2. Затем из оставшихся 12 человек выберем 6 для второй команды. Это можно сделать $C_{12}^6$ способами.
$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!}$.
3. Оставшиеся 6 человек образуют третью команду ($C_6^6=1$ способ).
Если бы команды были различимы, общее число способов было бы произведением $C_{18}^6 \times C_{12}^6 \times C_6^6 = \frac{18!}{6!6!6!}$.
Поскольку команды неразличимы, полученный результат нужно разделить на число перестановок этих трёх команд, то есть на $3!$.
Итоговое число способов: $N = \frac{C_{18}^6 \times C_{12}^6 \times C_6^6}{3!} = \frac{1}{6} \times \frac{18!}{6!12!} \times \frac{12!}{6!6!} = \frac{18!}{6! \cdot 6! \cdot 6! \cdot 3!}$.
Вычислим:
$C_{18}^6 = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 18564$.
$C_{12}^6 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 924$.
$N = \frac{18564 \times 924}{6} = 3094 \times 924 = 2858856$.
Ответ: 2858856.

4. 17-я строка треугольника Паскаля содержит биномиальные коэффициенты для $n=17$: $C_{17}^0, C_{17}^1, C_{17}^2, \dots, C_{17}^{17}$.
Нумерация мест в строке начинается с первого. Число на 1-м месте: $C_{17}^0$.
Число на 2-м месте: $C_{17}^1$.
Число на 3-м месте: $C_{17}^2$.
...
Таким образом, на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м и т.д.) стоят числа с чётными нижними индексами ($C_{17}^0, C_{17}^2, C_{17}^4, \dots$). Нам нужно найти сумму $S = C_{17}^0 + C_{17}^2 + C_{17}^4 + \dots + C_{17}^{16}$.
Известны два свойства биномиальных коэффициентов для строки $n$:
1) Сумма всех коэффициентов: $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$.
2) Сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах: $(C_n^0 + C_n^2 + \dots) = (C_n^1 + C_n^3 + \dots)$. Каждая из этих сумм равна $2^{n-1}$.
Для нашей задачи $n=17$. Искомая сумма — это сумма коэффициентов с чётными нижними индексами.
$S = C_{17}^0 + C_{17}^2 + \dots + C_{17}^{16} = 2^{17-1} = 2^{16}$.
Вычислим $2^{16}$:
$2^{16} = 2^{10} \times 2^6 = 1024 \times 64 = 65536$.
Ответ: 65536.

Самостоятельная работа № 18

Аксиомы теории вероятностей

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку — 0,2, в восьмёрку — 0,4. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) не меньше 8 очков;

2) меньше 9 очков;

3) больше 8 очков?

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках чётная; событие $B$ — в том, что по крайней одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

1) $\bar{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

3. В школе работают две спортивные секции — шахматная и шашечная. Вероятность встретить среди учащихся школы шахматиста равна 14%, шашиста — 10%, а ученика, посещающего хотя бы одну секцию, — 17%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает обе указанные секции?

1.

Обозначим события: $A_{10}$ — попадание в десятку, $A_9$ — попадание в девятку, $A_8$ — попадание в восьмёрку. По условию, вероятности этих событий равны:

$P(A_{10}) = 0.05$

$P(A_9) = 0.2$

$P(A_8) = 0.4$

Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя попасть в разные зоны.

1) не меньше 8 очков

Событие "набрать не меньше 8 очков" означает, что стрелок попадет в восьмёрку, девятку или десятку. Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(\text{не меньше 8 очков}) = P(A_8 \cup A_9 \cup A_{10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10})$

$P(\text{не меньше 8 очков}) = 0.4 + 0.2 + 0.05 = 0.65$

Ответ: 0,65

2) меньше 9 очков

Событие "набрать меньше 9 очков" является противоположным событию "набрать не меньше 9 очков" (т.е. набрать 9 или 10 очков). Сначала найдем вероятность набрать не меньше 9 очков:

$P(\text{не меньше 9 очков}) = P(A_9 \cup A_{10}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0.2 + 0.05 = 0.25$

Вероятность противоположного события "набрать меньше 9 очков" равна:

$P(\text{меньше 9 очков}) = 1 - P(\text{не меньше 9 очков}) = 1 - 0.25 = 0.75$

Ответ: 0,75

3) больше 8 очков

Событие "набрать больше 8 очков" означает, что стрелок наберет 9 или 10 очков. Вероятность этого события:

$P(\text{больше 8 очков}) = P(A_9 \cup A_{10}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0.2 + 0.05 = 0.25$

Ответ: 0,25

2.

В каждой из двух колод по 3 карточки с номерами 1, 2, 3. При выборе по одной карточке из каждой колоды общее число равновозможных исходов равно $3 \times 3 = 9$. Выпишем все возможные пары чисел $(x, y)$, где $x$ — номер карточки из первой колоды, а $y$ — из второй:

$\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$

Событие A: сумма очков на выбранных карточках чётная. Сумма двух чисел чётна, если оба числа чётные или оба нечётные.

Исходы, благоприятствующие событию A:

Оба нечётные: $(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)$

Оба чётные: $(2,2)$

Всего 5 благоприятствующих исходов. $A = \{(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,3)\}$.

Вероятность события A: $P(A) = 5/9$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 3.

Исходы, благоприятствующие событию B: $(1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)$.

Всего 5 благоприятствующих исходов. $B = \{(1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$.

Вероятность события B: $P(B) = 5/9$.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию A, то есть "сумма очков на карточках нечётная". Вероятность противоположного события можно найти по формуле:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 5/9 = 4/9$

Ответ: 4/9

2) $A \cap B$

Событие $A \cap B$ означает, что произошло и событие A, и событие B, то есть "сумма очков чётная, и по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Найдем исходы, которые принадлежат обоим множествам A и B:

$A \cap B = \{(1,3), (3,1), (3,3)\}$

Число благоприятствующих исходов равно 3. Вероятность этого события:

$P(A \cap B) = 3/9 = 1/3$

Ответ: 1/3

3) $A \cup B$

Событие $A \cup B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B, то есть "сумма очков чётная, или по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Вероятность объединения событий вычисляется по формуле:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A \cup B) = 5/9 + 5/9 - 3/9 = (10 - 3)/9 = 7/9$

Ответ: 7/9

3.

Пусть событие A — выбранный учащийся занимается в шахматной секции, а событие B — в шашечной.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

Вероятность встретить шахматиста: $P(A) = 14\% = 0.14$.

Вероятность встретить шашиста: $P(B) = 10\% = 0.10$.

Вероятность встретить ученика, посещающего хотя бы одну секцию (объединение событий A и B): $P(A \cup B) = 17\% = 0.17$.

Нам нужно найти вероятность того, что выбранный наугад учащийся посещает обе секции. Это соответствует нахождению вероятности пересечения событий A и B, то есть $P(A \cap B)$.

Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Выразим из этой формулы искомую вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим известные значения:

$P(A \cap B) = 0.14 + 0.10 - 0.17 = 0.24 - 0.17 = 0.07$

Таким образом, вероятность того, что выбранный учащийся посещает обе секции, равна 0,07 или 7%.

Ответ: 0,07