Страница 46 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Комплексная плоскость.

Тригонометрическая форма

комплексного числа

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) -8;

2) 7i;

3) $3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$;

4) $\frac{5-i}{1+i}$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) $Im\ z = 3$;

2) $z\bar{z} \le 16$;

3) $|z + 3i| > 3$;

4) $|z + 1| = |z + 2 - i|$.

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) -8

Представим комплексное число $z = -8$ в алгебраической форме $z = a + bi$.
Здесь действительная часть $a = -8$, а мнимая часть $b = 0$.
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы уравнений:
$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{-8}{8} = -1$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{8} = 0$
Единственный угол на промежутке $[0, 2\pi)$, удовлетворяющий этим условиям, это $\varphi = \pi$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z = -8$:
$z = 8(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Ответ: $8(\cos\pi + i\sin\pi)$.

2) 7i

Представим комплексное число $z = 7i$ в алгебраической форме $z = a + bi$.
Здесь $a = 0$, $b = 7$.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 7^2} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы уравнений:
$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{7} = 0$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{7}{7} = 1$
Угол, удовлетворяющий этим условиям, это $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
Тригонометрическая форма числа $z = 7i$:
$z = 7(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.
Ответ: $7(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

3) $3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$

Для комплексного числа $z = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$ имеем $a = 3\sqrt{2}$ и $b = -3\sqrt{2}$.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (-3\sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6$.
Найдем аргумент $\varphi$:
$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{-3\sqrt{2}}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку косинус положителен, а синус отрицателен, угол $\varphi$ находится в IV четверти. Главное значение аргумента равно $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = 6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.
Ответ: $6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

4) $\frac{5-i}{1+i}$

Сначала приведем число к алгебраической форме $z = a + bi$, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $1-i$.
$z = \frac{5-i}{1+i} = \frac{(5-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{5 - 5i - i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{5 - 6i - 1}{1 - (-1)} = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$.
Теперь для $z = 2 - 3i$ имеем $a = 2$, $b = -3$.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Найдем аргумент $\varphi$:
$\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{13}}$
$\sin\varphi = \frac{-3}{\sqrt{13}}$
Аргумент $\varphi$ можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan(\frac{b}{a}) = \arctan(-\frac{3}{2})$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{13}(\cos(\arctan(-\frac{3}{2})) + i\sin(\arctan(-\frac{3}{2})))$.
Ответ: $\sqrt{13}(\cos(\arctan(-\frac{3}{2})) + i\sin(\arctan(-\frac{3}{2})))$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) Im z = 3

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + yi$, где $x$ - действительная часть, а $y$ - мнимая часть.
Условие $\text{Im }z = 3$ означает, что $y=3$.
На комплексной плоскости это уравнение задает прямую, параллельную действительной оси (оси Re) и проходящую через точку $3i$ на мнимой оси (оси Im).
Ответ: Множество чисел $z$ образует на комплексной плоскости прямую, заданную уравнением $y=3$.

2) $z\bar{z} \le 16$

Пусть $z = x + yi$. Тогда сопряженное ему число $\bar{z} = x - yi$.
Произведение $z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 + y^2$.
Также известно, что $z\bar{z} = |z|^2$.
Неравенство принимает вид $x^2 + y^2 \le 16$ или $x^2 + y^2 \le 4^2$.
Это неравенство описывает все точки на комплексной плоскости, расстояние которых от начала координат не превышает 4.
Геометрически это представляет собой замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=4$.
Ответ: Множество чисел $z$ образует на комплексной плоскости замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 4.

3) $|z + 3i| > 3$

Пусть $z = x + yi$.
$|z + 3i| = |x + yi + 3i| = |x + (y+3)i| = \sqrt{x^2 + (y+3)^2}$.
Неравенство принимает вид $\sqrt{x^2 + (y+3)^2} > 3$.
Возведя обе части в квадрат, получим $x^2 + (y+3)^2 > 3^2$.
Геометрически $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$. В нашем случае неравенство можно записать как $|z - (-3i)| > 3$.
Это условие выполняется для всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -3i$ (координаты $(0, -3)$) строго больше 3.
Таким образом, это множество точек, лежащих вне круга с центром в точке $-3i$ и радиусом $R=3$. Граница (окружность) в это множество не входит.
Ответ: Множество чисел $z$ представляет собой все точки комплексной плоскости, лежащие вне круга с центром в точке $-3i$ и радиусом 3.

4) $|z + 1| = |z + 2 - i|$

Геометрически равенство $|z - z_1| = |z - z_2|$ задает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1$ и $z_2$. Это множество является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $z_1$ и $z_2$.
Перепишем наше уравнение в виде $|z - (-1)| = |z - (-2+i)|$.
Здесь $z_1 = -1$ (координаты $(-1, 0)$) и $z_2 = -2+i$ (координаты $(-2, 1)$).
Найдем уравнение этого серединного перпендикуляра алгебраически. Пусть $z = x + yi$.
$|x+yi+1| = |x+yi+2-i|$
$|(x+1) + yi| = |(x+2) + (y-1)i|$
Возведем в квадрат модули (расстояния):
$(x+1)^2 + y^2 = (x+2)^2 + (y-1)^2$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$
Сократим одинаковые члены в обеих частях:
$2x + 1 = 4x + 4 - 2y + 1$
$2y = 2x + 4$
$y = x + 2$
Это уравнение прямой на комплексной плоскости.
Ответ: Множество чисел $z$ образует на комплексной плоскости прямую, заданную уравнением $y=x+2$.

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень $n$-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 3\left(\cos \frac{5\pi}{8} - i\sin \frac{5\pi}{8}\right)$, $z_2 = 2\left(\cos \frac{3\pi}{8} + i\sin \frac{3\pi}{8}\right)$;

2) $z_1 = 6\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)$, $z_2 = -\sqrt{3} - i$.

2. Найдите значение выражения $(\sqrt{3} + i)^8$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = 1 - \sqrt{3}i$.

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 3(\cos\frac{5\pi}{8} - i\sin\frac{5\pi}{8}), z_2 = 2(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8})$

Для выполнения операций представим число $z_1$ в стандартной тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$. Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($-\sin\alpha = \sin(-\alpha)$), получаем:

$z_1 = 3(\cos(-\frac{5\pi}{8}) + i\sin(-\frac{5\pi}{8}))$

Таким образом, для $z_1$ модуль $r_1 = 3$, а аргумент $\phi_1 = -\frac{5\pi}{8}$.

Для $z_2$ модуль $r_2 = 2$, а аргумент $\phi_2 = \frac{3\pi}{8}$.

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме находится по формуле: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2))$.

$z_1 z_2 = 3 \cdot 2 (\cos(-\frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}) + i\sin(-\frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8})) = 6(\cos(-\frac{2\pi}{8}) + i\sin(-\frac{2\pi}{8}))$

$= 6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2} - 3i\sqrt{2}$

Частное комплексных чисел находится по формуле: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2}(\cos(-\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}) + i\sin(-\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8})) = \frac{3}{2}(\cos(-\frac{8\pi}{8}) + i\sin(-\frac{8\pi}{8}))$

$= \frac{3}{2}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = \frac{3}{2}(-1 + i \cdot 0) = -1.5$

Ответ: $z_1 z_2 = 3\sqrt{2} - 3i\sqrt{2}$; $\frac{z_1}{z_2} = -1.5$.

2) $z_1 = 6(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}), z_2 = -\sqrt{3} - i$

Число $z_1$ уже дано в тригонометрической форме: $r_1 = 6$, $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Представим число $z_2$ в тригонометрической форме. Найдем его модуль и аргумент.

Модуль: $r_2 = |z_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Аргумент $\phi_2$: $\cos\phi_2 = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi_2 = \frac{-1}{2}$. Угол находится в III четверти, следовательно $\phi_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Итак, $z_2 = 2(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6})$.

Найдем произведение:

$z_1 z_2 = 6 \cdot 2 (\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{7\pi}{6})) = 12(\cos(\frac{8\pi}{6}) + i\sin(\frac{8\pi}{6}))$

$= 12(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 12(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -6 - 6i\sqrt{3}$

Найдем частное:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{2}(\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{7\pi}{6})) = 3(\cos(-\frac{6\pi}{6}) + i\sin(-\frac{6\pi}{6}))$

$= 3(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi)) = 3(-1 + i \cdot 0) = -3$

Ответ: $z_1 z_2 = -6 - 6i\sqrt{3}$; $\frac{z_1}{z_2} = -3$.

2. Найдите значение выражения $(\sqrt{3} + i)^8$.

Для возведения комплексного числа в степень используем формулу Муавра: $[r(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

Сначала представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi = \frac{1}{2}$. Угол находится в I четверти, $\phi = \frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Теперь возведем в 8-ю степень:

$(\sqrt{3} + i)^8 = [2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})]^8 = 2^8 (\cos(8 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(8 \cdot \frac{\pi}{6}))$

$= 256(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) = 256(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128i\sqrt{3}$

Ответ: $-128 - 128i\sqrt{3}$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = 1 - \sqrt{3}i$.

Сначала найдем корни третьей степени из числа $z = 1 - \sqrt{3}i$. Для этого представим $z$ в тригонометрической форме.

Модуль: $r = |1 - \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент $\phi$: $\cos\phi = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол находится в IV четверти, $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Корни $n$-ой степени из комплексного числа находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r}(\cos(\frac{\phi + 2\pi k}{n}) + i\sin(\frac{\phi + 2\pi k}{n}))$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $r=2$, $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

$w_k = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3}))$

Найдем три корня для $k=0, 1, 2$:

При $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9}))$.

При $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3 + 2\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3 + 2\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{5\pi}{9}) + i\sin(\frac{5\pi}{9}))$.

При $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{-\pi/3 + 4\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi/3 + 4\pi}{3})) = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{11\pi}{9}) + i\sin(\frac{11\pi}{9}))$.

Для изображения этих чисел на комплексной плоскости:

1. Все три корня имеют одинаковый модуль $R = \sqrt[3]{2}$, поэтому они лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$.
2. Аргументы корней: $\phi_0 = -\frac{\pi}{9} = -20^\circ$, $\phi_1 = \frac{5\pi}{9} = 100^\circ$, $\phi_2 = \frac{11\pi}{9} = 220^\circ$.
3. На комплексной плоскости (ось абсцисс - действительная, ось ординат - мнимая) нужно начертить окружность радиуса $\sqrt[3]{2}$.
4. На этой окружности отметить три точки:
   • $w_0$ - в IV квадранте, под углом $20^\circ$ по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.
   • $w_1$ - во II квадранте, под углом $100^\circ$ против часовой стрелки.
   • $w_2$ - в III квадранте, под углом $220^\circ$ против часовой стрелки.
5. Эти три точки являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность.

Ответ: Корнями являются числа $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9}))$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{5\pi}{9}) + i\sin(\frac{5\pi}{9}))$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos(\frac{11\pi}{9}) + i\sin(\frac{11\pi}{9}))$. На комплексной плоскости они образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt[3]{2}$.

Самостоятельная работа № 16

Решение алгебраических уравнений

на множестве комплексных чисел

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 10z + 41 = 0$;

2) $z^2 + (3 + i)z + 3i = 0$;

3) $z^2 + 2z - 2 - 4i = 0$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 + 2z^2 + 36z + 72 = 0$;

2) $z^4 - 16i = 0$.

3. Корнями уравнения $x^3 - 6x^2 + 2x - 2 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $-3x_1, -3x_2$ и $-3x_3$.

1. 1) $z^2 + 10z + 41 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$. Решим его с помощью формулы для нахождения корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=10, c=41$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 100 - 164 = -64$.

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = 8i$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-10 \pm 8i}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 8i}{2} = -5 \pm 4i$.

Таким образом, корни уравнения:

$z_1 = -5 + 4i$

$z_2 = -5 - 4i$

Ответ: $z_1 = -5 + 4i, z_2 = -5 - 4i$.

1. 2) $z^2 + (3 + i)z + 3i = 0$

Это также квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=3+i, c=3i$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (3+i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3i = (9 + 6i + i^2) - 12i = (9 - 1 + 6i) - 12i = 8 - 6i$.

Теперь необходимо найти квадратный корень из комплексного числа $8-6i$. Пусть $\sqrt{8-6i} = u+vi$. Тогда $(u+vi)^2 = 8-6i$.

$u^2 - v^2 + 2uvi = 8 - 6i$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} u^2 - v^2 = 8 \\ 2uv = -6 \end{cases}$

Из второго уравнения $v = -3/u$. Подставим в первое:

$u^2 - (-\frac{3}{u})^2 = 8 \implies u^2 - \frac{9}{u^2} = 8$.

$u^4 - 8u^2 - 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t=u^2, t \ge 0$. Тогда $t^2 - 8t - 9 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=9$ и $t_2=-1$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=9$.

$u^2=9 \implies u = \pm 3$.

Если $u=3$, то $v = -3/3 = -1$.

Если $u=-3$, то $v = -3/(-3) = 1$.

Таким образом, $\sqrt{8-6i} = \pm(3-i)$.

Найдем корни исходного уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-(3+i) \pm (3-i)}{2}$.

$z_1 = \frac{-3-i + 3-i}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.

$z_2 = \frac{-3-i - (3-i)}{2} = \frac{-3-i - 3+i}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $z_1 = -i, z_2 = -3$.

1. 3) $z^2 + 2z - 2 - 4i = 0$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить полный квадрат:

$(z^2 + 2z + 1) - 1 - 2 - 4i = 0$.

$(z+1)^2 - 3 - 4i = 0$.

$(z+1)^2 = 3 + 4i$.

Найдем квадратный корень из $3+4i$. Пусть $\sqrt{3+4i} = u+vi$.

$(u+vi)^2 = 3+4i \implies u^2-v^2+2uvi = 3+4i$.

$\begin{cases} u^2 - v^2 = 3 \\ 2uv = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения $v = 2/u$. Подставим в первое:

$u^2 - (\frac{2}{u})^2 = 3 \implies u^4 - 3u^2 - 4 = 0$.

Пусть $t=u^2, t \ge 0$. Тогда $t^2 - 3t - 4 = 0$. Корни $t_1=4$ и $t_2=-1$. Подходит $t=4$.

$u^2=4 \implies u=\pm 2$.

Если $u=2$, то $v=1$. Если $u=-2$, то $v=-1$.

Следовательно, $\sqrt{3+4i} = \pm(2+i)$.

Теперь вернемся к уравнению для $z$:

$z+1 = \pm(2+i)$.

Получаем два корня:

$z_1 + 1 = 2+i \implies z_1 = 1+i$.

$z_2 + 1 = -(2+i) \implies z_2 = -2-i-1 = -3-i$.

Ответ: $z_1 = 1+i, z_2 = -3-i$.

2. 1) $z^3 + 2z^2 + 36z + 72 = 0$

Сгруппируем члены кубического уравнения для разложения на множители:

$(z^3 + 2z^2) + (36z + 72) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$z^2(z+2) + 36(z+2) = 0$.

Вынесем общий множитель $(z+2)$:

$(z^2+36)(z+2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$z+2=0 \implies z_1 = -2$.

$z^2+36=0 \implies z^2 = -36 \implies z = \pm\sqrt{-36} = \pm 6i$.

Таким образом, $z_2 = 6i$ и $z_3 = -6i$.

Ответ: $z_1 = -2, z_2 = 6i, z_3 = -6i$.

2. 2) $z^4 - 16i = 0$

Уравнение можно переписать как $z^4 = 16i$. Это задача на нахождение корней 4-й степени из комплексного числа $16i$.

Представим число $16i$ в тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$.

Модуль $r = |16i| = \sqrt{0^2+16^2} = 16$.

Аргумент $\phi$ находится из условий $\cos\phi = 0/16 = 0$ и $\sin\phi = 16/16 = 1$. Отсюда $\phi = \pi/2$.

Итак, $16i = 16(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Корни $n$-й степени из комплексного числа находятся по формуле Муавра:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=4, r=16, \phi=\pi/2$.

$z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi k}{8}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi k}{8}\right) \right)$.

Вычислим корни для $k=0, 1, 2, 3$:

При $k=0$: $z_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \right)$.

При $k=1$: $z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right) \right)$.

При $k=2$: $z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{9\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{8}\right) \right)$.

При $k=3$: $z_3 = 2 \left( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{13\pi}{8}\right) \right)$.

Ответ: $z_k = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) \right)$ для $k = 0, 1, 2, 3$.

3.

Дано исходное уравнение $x^3 - 6x^2 + 2x - 2 = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$.

Требуется составить новое кубическое уравнение, корнями которого являются числа $y_1 = -3x_1, y_2 = -3x_2, y_3 = -3x_3$.

Пусть $y$ — корень нового уравнения. Тогда $y = -3x$, где $x$ — корень исходного уравнения. Выразим $x$ через $y$: $x = -\frac{y}{3}$.

Поскольку $x$ является корнем исходного уравнения, он удовлетворяет этому уравнению. Подставим выражение для $x$ в исходное уравнение:

$\left(-\frac{y}{3}\right)^3 - 6\left(-\frac{y}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{y}{3}\right) - 2 = 0$.

Упростим полученное выражение:

$-\frac{y^3}{27} - 6\left(\frac{y^2}{9}\right) - \frac{2y}{3} - 2 = 0$.

$-\frac{y^3}{27} - \frac{2y^2}{3} - \frac{2y}{3} - 2 = 0$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на $-27$:

$(-27)\left(-\frac{y^3}{27}\right) - (-27)\left(\frac{2y^2}{3}\right) - (-27)\left(\frac{2y}{3}\right) - (-27)(2) = 0$.

$y^3 + 18y^2 + 18y + 54 = 0$.

Это и есть искомое кубическое уравнение. Обычно переменную в уравнении обозначают как $x$, поэтому можно записать ответ в виде:

$x^3 + 18x^2 + 18x + 54 = 0$.

Ответ: $x^3 + 18x^2 + 18x + 54 = 0$.