Номер 14, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Комплексная плоскость.

Тригонометрическая форма

комплексного числа

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) -8;

2) 7i;

3) $3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$;

4) $\frac{5-i}{1+i}$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) $Im\ z = 3$;

2) $z\bar{z} \le 16$;

3) $|z + 3i| > 3$;

4) $|z + 1| = |z + 2 - i|$.

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) -8

Представим комплексное число $z = -8$ в алгебраической форме $z = a + bi$.
Здесь действительная часть $a = -8$, а мнимая часть $b = 0$.
Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ - его аргумент.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы уравнений:
$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{-8}{8} = -1$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{8} = 0$
Единственный угол на промежутке $[0, 2\pi)$, удовлетворяющий этим условиям, это $\varphi = \pi$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа $z = -8$:
$z = 8(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Ответ: $8(\cos\pi + i\sin\pi)$.

2) 7i

Представим комплексное число $z = 7i$ в алгебраической форме $z = a + bi$.
Здесь $a = 0$, $b = 7$.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0^2 + 7^2} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем аргумент $\varphi$ из системы уравнений:
$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{7} = 0$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{7}{7} = 1$
Угол, удовлетворяющий этим условиям, это $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
Тригонометрическая форма числа $z = 7i$:
$z = 7(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.
Ответ: $7(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

3) $3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$

Для комплексного числа $z = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$ имеем $a = 3\sqrt{2}$ и $b = -3\sqrt{2}$.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (-3\sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 18} = \sqrt{36} = 6$.
Найдем аргумент $\varphi$:
$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{-3\sqrt{2}}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Поскольку косинус положителен, а синус отрицателен, угол $\varphi$ находится в IV четверти. Главное значение аргумента равно $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = 6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.
Ответ: $6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

4) $\frac{5-i}{1+i}$

Сначала приведем число к алгебраической форме $z = a + bi$, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $1-i$.
$z = \frac{5-i}{1+i} = \frac{(5-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{5 - 5i - i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{5 - 6i - 1}{1 - (-1)} = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$.
Теперь для $z = 2 - 3i$ имеем $a = 2$, $b = -3$.
Найдем модуль $r$:
$r = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Найдем аргумент $\varphi$:
$\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{13}}$
$\sin\varphi = \frac{-3}{\sqrt{13}}$
Аргумент $\varphi$ можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan(\frac{b}{a}) = \arctan(-\frac{3}{2})$.
Тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{13}(\cos(\arctan(-\frac{3}{2})) + i\sin(\arctan(-\frac{3}{2})))$.
Ответ: $\sqrt{13}(\cos(\arctan(-\frac{3}{2})) + i\sin(\arctan(-\frac{3}{2})))$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) Im z = 3

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + yi$, где $x$ - действительная часть, а $y$ - мнимая часть.
Условие $\text{Im }z = 3$ означает, что $y=3$.
На комплексной плоскости это уравнение задает прямую, параллельную действительной оси (оси Re) и проходящую через точку $3i$ на мнимой оси (оси Im).
Ответ: Множество чисел $z$ образует на комплексной плоскости прямую, заданную уравнением $y=3$.

2) $z\bar{z} \le 16$

Пусть $z = x + yi$. Тогда сопряженное ему число $\bar{z} = x - yi$.
Произведение $z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 + y^2$.
Также известно, что $z\bar{z} = |z|^2$.
Неравенство принимает вид $x^2 + y^2 \le 16$ или $x^2 + y^2 \le 4^2$.
Это неравенство описывает все точки на комплексной плоскости, расстояние которых от начала координат не превышает 4.
Геометрически это представляет собой замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=4$.
Ответ: Множество чисел $z$ образует на комплексной плоскости замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 4.

3) $|z + 3i| > 3$

Пусть $z = x + yi$.
$|z + 3i| = |x + yi + 3i| = |x + (y+3)i| = \sqrt{x^2 + (y+3)^2}$.
Неравенство принимает вид $\sqrt{x^2 + (y+3)^2} > 3$.
Возведя обе части в квадрат, получим $x^2 + (y+3)^2 > 3^2$.
Геометрически $|z - z_0|$ представляет собой расстояние между точками $z$ и $z_0$. В нашем случае неравенство можно записать как $|z - (-3i)| > 3$.
Это условие выполняется для всех точек $z$, расстояние от которых до точки $z_0 = -3i$ (координаты $(0, -3)$) строго больше 3.
Таким образом, это множество точек, лежащих вне круга с центром в точке $-3i$ и радиусом $R=3$. Граница (окружность) в это множество не входит.
Ответ: Множество чисел $z$ представляет собой все точки комплексной плоскости, лежащие вне круга с центром в точке $-3i$ и радиусом 3.

4) $|z + 1| = |z + 2 - i|$

Геометрически равенство $|z - z_1| = |z - z_2|$ задает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1$ и $z_2$. Это множество является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $z_1$ и $z_2$.
Перепишем наше уравнение в виде $|z - (-1)| = |z - (-2+i)|$.
Здесь $z_1 = -1$ (координаты $(-1, 0)$) и $z_2 = -2+i$ (координаты $(-2, 1)$).
Найдем уравнение этого серединного перпендикуляра алгебраически. Пусть $z = x + yi$.
$|x+yi+1| = |x+yi+2-i|$
$|(x+1) + yi| = |(x+2) + (y-1)i|$
Возведем в квадрат модули (расстояния):
$(x+1)^2 + y^2 = (x+2)^2 + (y-1)^2$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$
Сократим одинаковые члены в обеих частях:
$2x + 1 = 4x + 4 - 2y + 1$
$2y = 2x + 4$
$y = x + 2$
Это уравнение прямой на комплексной плоскости.
Ответ: Множество чисел $z$ образует на комплексной плоскости прямую, заданную уравнением $y=x+2$.