Номер 16, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 16

Решение алгебраических уравнений

на множестве комплексных чисел

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 10z + 41 = 0$;

2) $z^2 + (3 + i)z + 3i = 0$;

3) $z^2 + 2z - 2 - 4i = 0$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 + 2z^2 + 36z + 72 = 0$;

2) $z^4 - 16i = 0$.

3. Корнями уравнения $x^3 - 6x^2 + 2x - 2 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $-3x_1, -3x_2$ и $-3x_3$.

1. 1) $z^2 + 10z + 41 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$. Решим его с помощью формулы для нахождения корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=10, c=41$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 100 - 164 = -64$.

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = 8i$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-10 \pm 8i}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 8i}{2} = -5 \pm 4i$.

Таким образом, корни уравнения:

$z_1 = -5 + 4i$

$z_2 = -5 - 4i$

Ответ: $z_1 = -5 + 4i, z_2 = -5 - 4i$.

1. 2) $z^2 + (3 + i)z + 3i = 0$

Это также квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=3+i, c=3i$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (3+i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3i = (9 + 6i + i^2) - 12i = (9 - 1 + 6i) - 12i = 8 - 6i$.

Теперь необходимо найти квадратный корень из комплексного числа $8-6i$. Пусть $\sqrt{8-6i} = u+vi$. Тогда $(u+vi)^2 = 8-6i$.

$u^2 - v^2 + 2uvi = 8 - 6i$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} u^2 - v^2 = 8 \\ 2uv = -6 \end{cases}$

Из второго уравнения $v = -3/u$. Подставим в первое:

$u^2 - (-\frac{3}{u})^2 = 8 \implies u^2 - \frac{9}{u^2} = 8$.

$u^4 - 8u^2 - 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t=u^2, t \ge 0$. Тогда $t^2 - 8t - 9 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=9$ и $t_2=-1$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=9$.

$u^2=9 \implies u = \pm 3$.

Если $u=3$, то $v = -3/3 = -1$.

Если $u=-3$, то $v = -3/(-3) = 1$.

Таким образом, $\sqrt{8-6i} = \pm(3-i)$.

Найдем корни исходного уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-(3+i) \pm (3-i)}{2}$.

$z_1 = \frac{-3-i + 3-i}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.

$z_2 = \frac{-3-i - (3-i)}{2} = \frac{-3-i - 3+i}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $z_1 = -i, z_2 = -3$.

1. 3) $z^2 + 2z - 2 - 4i = 0$

Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить полный квадрат:

$(z^2 + 2z + 1) - 1 - 2 - 4i = 0$.

$(z+1)^2 - 3 - 4i = 0$.

$(z+1)^2 = 3 + 4i$.

Найдем квадратный корень из $3+4i$. Пусть $\sqrt{3+4i} = u+vi$.

$(u+vi)^2 = 3+4i \implies u^2-v^2+2uvi = 3+4i$.

$\begin{cases} u^2 - v^2 = 3 \\ 2uv = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения $v = 2/u$. Подставим в первое:

$u^2 - (\frac{2}{u})^2 = 3 \implies u^4 - 3u^2 - 4 = 0$.

Пусть $t=u^2, t \ge 0$. Тогда $t^2 - 3t - 4 = 0$. Корни $t_1=4$ и $t_2=-1$. Подходит $t=4$.

$u^2=4 \implies u=\pm 2$.

Если $u=2$, то $v=1$. Если $u=-2$, то $v=-1$.

Следовательно, $\sqrt{3+4i} = \pm(2+i)$.

Теперь вернемся к уравнению для $z$:

$z+1 = \pm(2+i)$.

Получаем два корня:

$z_1 + 1 = 2+i \implies z_1 = 1+i$.

$z_2 + 1 = -(2+i) \implies z_2 = -2-i-1 = -3-i$.

Ответ: $z_1 = 1+i, z_2 = -3-i$.

2. 1) $z^3 + 2z^2 + 36z + 72 = 0$

Сгруппируем члены кубического уравнения для разложения на множители:

$(z^3 + 2z^2) + (36z + 72) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$z^2(z+2) + 36(z+2) = 0$.

Вынесем общий множитель $(z+2)$:

$(z^2+36)(z+2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$z+2=0 \implies z_1 = -2$.

$z^2+36=0 \implies z^2 = -36 \implies z = \pm\sqrt{-36} = \pm 6i$.

Таким образом, $z_2 = 6i$ и $z_3 = -6i$.

Ответ: $z_1 = -2, z_2 = 6i, z_3 = -6i$.

2. 2) $z^4 - 16i = 0$

Уравнение можно переписать как $z^4 = 16i$. Это задача на нахождение корней 4-й степени из комплексного числа $16i$.

Представим число $16i$ в тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$.

Модуль $r = |16i| = \sqrt{0^2+16^2} = 16$.

Аргумент $\phi$ находится из условий $\cos\phi = 0/16 = 0$ и $\sin\phi = 16/16 = 1$. Отсюда $\phi = \pi/2$.

Итак, $16i = 16(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Корни $n$-й степени из комплексного числа находятся по формуле Муавра:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=4, r=16, \phi=\pi/2$.

$z_k = \sqrt[4]{16} \left( \cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi k}{4}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi k}{8}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi k}{8}\right) \right)$.

Вычислим корни для $k=0, 1, 2, 3$:

При $k=0$: $z_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \right)$.

При $k=1$: $z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{8}\right) \right)$.

При $k=2$: $z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{9\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{8}\right) \right)$.

При $k=3$: $z_3 = 2 \left( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{13\pi}{8}\right) \right)$.

Ответ: $z_k = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) \right)$ для $k = 0, 1, 2, 3$.

3.

Дано исходное уравнение $x^3 - 6x^2 + 2x - 2 = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$.

Требуется составить новое кубическое уравнение, корнями которого являются числа $y_1 = -3x_1, y_2 = -3x_2, y_3 = -3x_3$.

Пусть $y$ — корень нового уравнения. Тогда $y = -3x$, где $x$ — корень исходного уравнения. Выразим $x$ через $y$: $x = -\frac{y}{3}$.

Поскольку $x$ является корнем исходного уравнения, он удовлетворяет этому уравнению. Подставим выражение для $x$ в исходное уравнение:

$\left(-\frac{y}{3}\right)^3 - 6\left(-\frac{y}{3}\right)^2 + 2\left(-\frac{y}{3}\right) - 2 = 0$.

Упростим полученное выражение:

$-\frac{y^3}{27} - 6\left(\frac{y^2}{9}\right) - \frac{2y}{3} - 2 = 0$.

$-\frac{y^3}{27} - \frac{2y^2}{3} - \frac{2y}{3} - 2 = 0$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на $-27$:

$(-27)\left(-\frac{y^3}{27}\right) - (-27)\left(\frac{2y^2}{3}\right) - (-27)\left(\frac{2y}{3}\right) - (-27)(2) = 0$.

$y^3 + 18y^2 + 18y + 54 = 0$.

Это и есть искомое кубическое уравнение. Обычно переменную в уравнении обозначают как $x$, поэтому можно записать ответ в виде:

$x^3 + 18x^2 + 18x + 54 = 0$.

Ответ: $x^3 + 18x^2 + 18x + 54 = 0$.