Номер 10, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Правила нахождения первообразной

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^5 - \frac{8}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

2) $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} - 4\cos x$ на промежутке $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

2. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{8x + 12}}$, $I = (-1,5; +\infty)$, $A(-1; 2);$

2) $f(x) = \frac{1}{5x - 1} - e^{-2x}$, $I = (-\infty; 0,2)$, $K(0; 2).$

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 7 - 4t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 5$ с точка находилась на расстоянии 5 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

4. Найдите $\int \cos 5x \sin 9x dx.$

1)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = x^5 - \frac{8}{\sqrt{x}}$, представим ее в виде, удобном для интегрирования:
$f(x) = x^5 - 8x^{-1/2}$.
Теперь найдем первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = \int (x^5 - 8x^{-1/2}) dx = \int x^5 dx - 8 \int x^{-1/2} dx$.
$F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} - 8 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C$.
$F(x) = \frac{x^6}{6} - 8 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.
$F(x) = \frac{x^6}{6} - 16x^{1/2} + C = \frac{x^6}{6} - 16\sqrt{x} + C$.
Это общий вид первообразных для данной функции на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{6} - 16\sqrt{x} + C$.

2)

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} - 4\cos x$.
Для этого проинтегрируем функцию почленно, используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ и $\int \cos x dx = \sin x + C$:
$F(x) = \int (\frac{7}{\cos^2 x} - 4\cos x) dx = 7 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx - 4 \int \cos x dx$.
$F(x) = 7\tan x - 4\sin x + C$.
Это общий вид первообразных на заданном промежутке $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Ответ: $F(x) = 7\tan x - 4\sin x + C$.

1)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{8x+12}}$ на промежутке $I = (-1,5; +\infty)$ и точка $A(-1; 2)$.
Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$. Представим функцию в виде $f(x) = (8x+12)^{-1/2}$.
Интегрируем, используя формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = \int (8x+12)^{-1/2} dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{(8x+12)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{8} \cdot \frac{(8x+12)^{1/2}}{1/2} + C$.
$F(x) = \frac{2}{8}\sqrt{8x+12} + C = \frac{1}{4}\sqrt{8x+12} + C$.
Теперь найдем константу $C$, используя условие, что график проходит через точку $A(-1; 2)$, то есть $F(-1) = 2$.
$F(-1) = \frac{1}{4}\sqrt{8(-1)+12} + C = 2$.
$\frac{1}{4}\sqrt{-8+12} + C = 2$.
$\frac{1}{4}\sqrt{4} + C = 2$.
$\frac{1}{4} \cdot 2 + C = 2 \implies \frac{1}{2} + C = 2$.
$C = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{4}\sqrt{8x+12} + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sqrt{8x+12} + \frac{3}{2}$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{5x-1} - e^{-2x}$ на промежутке $I = (-\infty; 0,2)$ и точка $K(0; 2)$.
Найдем общий вид первообразной $F(x)$, интегрируя почленно:
$F(x) = \int (\frac{1}{5x-1} - e^{-2x}) dx = \int \frac{dx}{5x-1} - \int e^{-2x} dx$.
Используем формулы $\int \frac{dx}{kx+b} = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$ и $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
$F(x) = \frac{1}{5}\ln|5x-1| - \frac{1}{-2}e^{-2x} + C = \frac{1}{5}\ln|5x-1| + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
На промежутке $(-\infty; 0,2)$ выражение $5x-1$ отрицательно, поэтому $|5x-1| = -(5x-1) = 1-5x$.
$F(x) = \frac{1}{5}\ln(1-5x) + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
Используем условие $F(0)=2$ для нахождения $C$:
$F(0) = \frac{1}{5}\ln(1-5 \cdot 0) + \frac{1}{2}e^{-2 \cdot 0} + C = 2$.
$\frac{1}{5}\ln(1) + \frac{1}{2}e^0 + C = 2$.
$\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 1 + C = 2 \implies \frac{1}{2} + C = 2$.
$C = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{5}\ln(1-5x) + \frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}\ln(1-5x) + \frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{3}{2}$.

3.

Координата точки $s(t)$ является первообразной для ее скорости $v(t)$.
Дано: $v(t) = 7 - 4t$.
Найдем общий вид закона движения $s(t)$:
$s(t) = \int v(t) dt = \int (7 - 4t) dt = 7t - 4\frac{t^2}{2} + C = 7t - 2t^2 + C$.
По условию, в момент времени $t = 5$ с точка находилась на расстоянии 5 м от начала координат. Это означает, что $|s(5)| = 5$, то есть $s(5) = 5$ или $s(5) = -5$.
Рассмотрим оба случая:
1) $s(5) = 5$:
$7(5) - 2(5)^2 + C = 5$.
$35 - 2(25) + C = 5 \implies 35 - 50 + C = 5 \implies -15 + C = 5 \implies C = 20$.
В этом случае формула: $s(t) = -2t^2 + 7t + 20$.
2) $s(5) = -5$:
$7(5) - 2(5)^2 + C = -5$.
$35 - 50 + C = -5 \implies -15 + C = -5 \implies C = 10$.
В этом случае формула: $s(t) = -2t^2 + 7t + 10$.
Оба варианта удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $s(t) = -2t^2 + 7t + 20$ или $s(t) = -2t^2 + 7t + 10$.

4.

Чтобы найти интеграл $\int \cos 5x \sin 9x dx$, воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму:
$\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.
В нашем случае $A=9x$ и $B=5x$.
$\sin 9x \cos 5x = \frac{1}{2}(\sin(9x+5x) + \sin(9x-5x)) = \frac{1}{2}(\sin 14x + \sin 4x)$.
Теперь интегрируем полученное выражение:
$\int \frac{1}{2}(\sin 14x + \sin 4x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 14x + \sin 4x) dx$.
$= \frac{1}{2} (\int \sin 14x dx + \int \sin 4x dx)$.
Используя формулу $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, получаем:
$= \frac{1}{2} (-\frac{1}{14}\cos 14x - \frac{1}{4}\cos 4x) + C$.
$= -\frac{1}{28}\cos 14x - \frac{1}{8}\cos 4x + C$.

Ответ: $-\frac{1}{28}\cos 14x - \frac{1}{8}\cos 4x + C$.