Номер 9, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Первообразная

1. Докажите, что функция $F$ является первообразной функции $f$ на промежутке $I$:

1) $F(x) = \sqrt{6x + 15}$, $f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 15}}$, $I = (-2.5; +\infty)$;

2) $F(x) = x^3 + \ln x^7$, $f(x) = \frac{3x^3 + 7}{x}$, $I = (0; +\infty)$.

2. Является ли функция $F(x) = |3x + 6|$ первообразной функции $f(x) = 3$ на промежутке:

1) $(-3; 6)$;

2) $(-1; 2)$?

3. Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ на промежутке $I = \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$.

1) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \sqrt{6x+15}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt{6x+15}}$ на промежутке $I = (-2,5; +\infty)$, нужно показать, что на этом промежутке производная от $F(x)$ равна $f(x)$.

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (\sqrt{6x+15})' = ((6x+15)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(6x+15)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (6x+15)' = \frac{1}{2}(6x+15)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6 = 3(6x+15)^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{6x+15}}$

На промежутке $I = (-2,5; +\infty)$ функция $F(x)$ дифференцируема. Мы получили, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из данного промежутка. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $F(x) = x^3 + \ln x^7$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{3x^3+7}{x}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$, найдем производную $F'(x)$.

Предварительно упростим $F(x)$, используя свойство логарифма: $F(x) = x^3 + 7\ln x$.

Теперь дифференцируем:

$F'(x) = (x^3 + 7\ln x)' = (x^3)' + (7\ln x)' = 3x^2 + 7 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 + \frac{7}{x}$

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{3x^2 \cdot x}{x} + \frac{7}{x} = \frac{3x^3+7}{x}$

На промежутке $I = (0; +\infty)$ функция $F(x)$ дифференцируема и $F'(x) = f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

Для того чтобы функция $F(x) = |3x+6|$ была первообразной для функции $f(x)=3$ на заданном промежутке, она должна быть дифференцируема на этом промежутке, и ее производная должна быть равна 3.

Раскроем модуль: $F(x) = \begin{cases} 3x+6, & \text{если } 3x+6 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ -(3x+6), & \text{если } 3x+6 < 0 \implies x < -2 \end{cases}$.

Производная этой функции: $F'(x) = \begin{cases} 3, & \text{если } x > -2 \\ -3, & \text{если } x < -2 \end{cases}$.

В точке $x=-2$ функция недифференцируема.

1) (-3; 6)

Промежуток $(-3; 6)$ содержит точку $x=-2$, в которой $F(x)$ не является дифференцируемой. Следовательно, на всем этом промежутке $F(x)$ не может быть первообразной.

Ответ: нет.

2) (-1; 2)

Промежуток $(-1; 2)$ полностью содержится в области $x > -2$. На этом промежутке $F(x) = 3x+6$. Производная $F'(x) = (3x+6)' = 3$. Так как $F'(x)=f(x)$ на всем промежутке $(-1; 2)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: да.

3. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$. Так как производная тангенса $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, то общий вид первообразной есть $F(x) = \tan x + C$, где $C$ - постоянная.

В условии задачи указано, что нужно найти первообразную на промежутке $I = (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, график которой проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; 1)$. Однако, абсцисса точки $x_M = \frac{\pi}{4}$ не принадлежит данному промежутку, так как $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$. Это, скорее всего, опечатка в условии. Будем решать задачу в предположении, что имелся в виду промежуток, содержащий точку $M$, например $I' = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $f(x)$ также определена и непрерывна.

Для нахождения константы $C$ используем координаты точки $M(\frac{\pi}{4}; 1)$. Подставим их в уравнение первообразной $F(x_M)=y_M$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) + C = 1$

Поскольку $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$1 + C = 1$

Отсюда $C = 0$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = \tan x$.

Ответ: $F(x) = \tan x$ (при условии, что промежуток содержит $x=\frac{\pi}{4}$).