Номер 17, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Элементы комбинаторики и бином Ньютона

1. Сколько существует нечётных пятизначных чисел, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 4, 6, 8 используется по одному разу?

2. Туристическая группа состоит из 4 инструкторов и 8 новичков. Из неё надо сформировать команду из 6 человек, которые пересекут ледник, передвигаясь один за другим в связке. Сколько существует способов сформировать такую команду, если первым и последним в связке должны идти инструкторы?

3. Из 18 знатоков надо сформировать три команды по шесть человек в каждой для участия в игре «Что? Где? Когда?». Сколькими способами это можно сделать?

4. Найдите сумму чисел, стоящих на нечётных местах в 17-й строке треугольника Паскаля.

1. Пятизначное число является нечётным, если его последняя цифра — нечётная. Из предложенного набора цифр {1, 2, 4, 6, 8} нечётной является только цифра 1. Следовательно, последняя (пятая) цифра искомых чисел должна быть 1. Это даёт 1 вариант для пятой позиции.
Оставшиеся четыре цифры {2, 4, 6, 8} должны занять первые четыре позиции в числе, причём каждая используется один раз. Количество способов расставить 4 различные цифры по 4 позициям равно числу перестановок из 4 элементов, $P_4$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, существует 24 способа расставить цифры {2, 4, 6, 8} на первых четырёх местах, и 1 способ выбрать последнюю цифру. Общее количество таких чисел равно $24 \times 1 = 24$.
Ответ: 24.

2. Для формирования команды из 6 человек нужно выполнить несколько шагов, учитывая, что порядок в связке важен (размещения), и что на первом и последнем месте должны быть инструкторы.
1. Выбор и расстановка инструкторов на первое и последнее места. У нас есть 4 инструктора. Количество способов выбрать 2 из 4 и расставить их на две определённые позиции (первую и последнюю) — это число размещений из 4 по 2:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$ способов.
2. Заполнение оставшихся 4-х мест в связке (со 2-го по 5-е). После выбора двух инструкторов, в туристической группе осталось $4 - 2 = 2$ инструктора и 8 новичков, итого $2 + 8 = 10$ человек. На 4 свободных места нужно выбрать и расставить 4 человека из этих 10. Количество способов это сделать — число размещений из 10 по 4:
$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ способов.
3. Общее количество способов формирования команды находится по правилу произведения: нужно перемножить количество способов для каждого шага.
$N = A_4^2 \times A_{10}^4 = 12 \times 5040 = 60480$.
Ответ: 60480.

3. Требуется разбить 18 человек на три команды по 6 человек. Так как команды не имеют названий и предназначены для одной и той же игры, они считаются неразличимыми.
1. Сначала выберем 6 человек для первой команды из 18. Это можно сделать $C_{18}^6$ способами.
$C_{18}^6 = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18!}{6!12!}$.
2. Затем из оставшихся 12 человек выберем 6 для второй команды. Это можно сделать $C_{12}^6$ способами.
$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!}$.
3. Оставшиеся 6 человек образуют третью команду ($C_6^6=1$ способ).
Если бы команды были различимы, общее число способов было бы произведением $C_{18}^6 \times C_{12}^6 \times C_6^6 = \frac{18!}{6!6!6!}$.
Поскольку команды неразличимы, полученный результат нужно разделить на число перестановок этих трёх команд, то есть на $3!$.
Итоговое число способов: $N = \frac{C_{18}^6 \times C_{12}^6 \times C_6^6}{3!} = \frac{1}{6} \times \frac{18!}{6!12!} \times \frac{12!}{6!6!} = \frac{18!}{6! \cdot 6! \cdot 6! \cdot 3!}$.
Вычислим:
$C_{18}^6 = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 18564$.
$C_{12}^6 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 924$.
$N = \frac{18564 \times 924}{6} = 3094 \times 924 = 2858856$.
Ответ: 2858856.

4. 17-я строка треугольника Паскаля содержит биномиальные коэффициенты для $n=17$: $C_{17}^0, C_{17}^1, C_{17}^2, \dots, C_{17}^{17}$.
Нумерация мест в строке начинается с первого. Число на 1-м месте: $C_{17}^0$.
Число на 2-м месте: $C_{17}^1$.
Число на 3-м месте: $C_{17}^2$.
...
Таким образом, на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м и т.д.) стоят числа с чётными нижними индексами ($C_{17}^0, C_{17}^2, C_{17}^4, \dots$). Нам нужно найти сумму $S = C_{17}^0 + C_{17}^2 + C_{17}^4 + \dots + C_{17}^{16}$.
Известны два свойства биномиальных коэффициентов для строки $n$:
1) Сумма всех коэффициентов: $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$.
2) Сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах: $(C_n^0 + C_n^2 + \dots) = (C_n^1 + C_n^3 + \dots)$. Каждая из этих сумм равна $2^{n-1}$.
Для нашей задачи $n=17$. Искомая сумма — это сумма коэффициентов с чётными нижними индексами.
$S = C_{17}^0 + C_{17}^2 + \dots + C_{17}^{16} = 2^{17-1} = 2^{16}$.
Вычислим $2^{16}$:
$2^{16} = 2^{10} \times 2^6 = 1024 \times 64 = 65536$.
Ответ: 65536.