Страница 39 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Математическое ожидание суммы

случайных величин

1. О случайных величинах $x$ и $y$ известно, что $M(x) = 6$, $M(y) = -1$. Найдите математическое ожидание случайной величины:

1) $x - y$

2) $4x + 3y$

3) $\frac{6y - 4x}{3}$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 70%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

3. В каждом из трёх ящиков находится по 100 шаров. Количество жёлтых шаров в этих ящиках равно соответственно 22, 31, 69. Из каждого ящика достают по одному шару. Найдите математическое ожидание количества вынутых жёлтых шаров.

1.

Даны случайные величины $x$ и $y$, для которых известны математические ожидания: $M(x) = 6$ и $M(y) = -1$. Для решения задачи будем использовать свойства математического ожидания, в частности свойство линейности: $M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)$, где $a$ и $b$ — константы.

1) $x - y$

Найдем математическое ожидание разности случайных величин:

$M(x - y) = M(x) - M(y)$

Подставим известные значения:

$M(x - y) = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$

Ответ: 7

2) $4x + 3y$

Найдем математическое ожидание линейной комбинации случайных величин:

$M(4x + 3y) = M(4x) + M(3y) = 4M(x) + 3M(y)$

Подставим известные значения:

$M(4x + 3y) = 4 \cdot 6 + 3 \cdot (-1) = 24 - 3 = 21$

Ответ: 21

3) $\frac{6y - 4x}{3}$

Сначала преобразуем выражение, а затем воспользуемся свойством линейности:

$M(\frac{6y - 4x}{3}) = M(\frac{6}{3}y - \frac{4}{3}x) = M(2y - \frac{4}{3}x)$

$M(2y - \frac{4}{3}x) = 2M(y) - \frac{4}{3}M(x)$

Подставим известные значения:

$M(2y - \frac{4}{3}x) = 2 \cdot (-1) - \frac{4}{3} \cdot 6 = -2 - 4 \cdot 2 = -2 - 8 = -10$

Ответ: -10

2.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству попаданий стрелка в мишень в серии из шести выстрелов. Мы имеем дело с последовательностью из $n=6$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p = 70\% = 0.7$. Вероятность неудачи (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

Такая случайная величина имеет биномиальное распределение. Вероятность того, что произойдет ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Вычислим вероятности для всех возможных значений $k$ от 0 до 6:

• $P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.7)^0 \cdot (0.3)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000729 = 0.000729$
• $P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.7)^1 \cdot (0.3)^5 = 6 \cdot 0.7 \cdot 0.00243 = 0.010206$
• $P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^4 = 15 \cdot 0.49 \cdot 0.0081 = 0.059535$
• $P(X=3) = C_6^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^3 = 20 \cdot 0.343 \cdot 0.027 = 0.18522$
• $P(X=4) = C_6^4 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^2 = 15 \cdot 0.2401 \cdot 0.09 = 0.324135$
• $P(X=5) = C_6^5 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^1 = 6 \cdot 0.16807 \cdot 0.3 = 0.302526$
• $P(X=6) = C_6^6 \cdot (0.7)^6 \cdot (0.3)^0 = 1 \cdot 0.117649 \cdot 1 = 0.117649$

Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$:

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $M(X) = n \cdot p$.

$M(X) = 6 \cdot 0.7 = 4.2$

Ответ: Таблица распределения вероятностей представлена выше, математическое ожидание равно 4.2.

3.

Пусть $X$ — общее количество вынутых жёлтых шаров. Пусть $X_1, X_2, X_3$ — случайные величины, равные количеству жёлтых шаров, вынутых из первого, второго и третьего ящика соответственно. Тогда общее число жёлтых шаров является суммой этих величин: $X = X_1 + X_2 + X_3$.

Используя свойство линейности математического ожидания, получим: $M(X) = M(X_1 + X_2 + X_3) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3)$.

Найдем математическое ожидание для каждой из величин $X_1, X_2, X_3$. Каждая из этих величин является индикатором события "вынут жёлтый шар" и может принимать только два значения: 1 (если шар жёлтый) или 0 (в противном случае).

Для первого ящика (22 жёлтых из 100):

Вероятность вынуть жёлтый шар: $p_1 = \frac{22}{100} = 0.22$.

Математическое ожидание $M(X_1)$ равно вероятности события, которое она индицирует: $M(X_1) = 1 \cdot p_1 + 0 \cdot (1-p_1) = p_1 = 0.22$.

Для второго ящика (31 жёлтый из 100):

Вероятность вынуть жёлтый шар: $p_2 = \frac{31}{100} = 0.31$.

Математическое ожидание $M(X_2) = p_2 = 0.31$.

Для третьего ящика (69 жёлтых из 100):

Вероятность вынуть жёлтый шар: $p_3 = \frac{69}{100} = 0.69$.

Математическое ожидание $M(X_3) = p_3 = 0.69$.

Теперь найдем математическое ожидание общего количества жёлтых шаров, сложив математические ожидания для каждого ящика:

$M(X) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3) = 0.22 + 0.31 + 0.69 = 1.22$

Ответ: 1.22