Страница 38 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Схема Бернулли. Биномиальное распределение

1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{3}{4}$. Какова вероятность того, что в девяти выстрелах будет сделано три промаха?

2. Игральный кубик бросают десять раз. Какова вероятность того, что число, кратное трём, выпадает:

1) не более двух раз;

2) больше восьми раз?

3. Случайная величина $z$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n = 5$ и $p = 0,2$. Найдите $P(1 \le z < 3)$.

1.

Данная задача решается с помощью схемы Бернулли. В этой схеме последовательность независимых испытаний, в каждом из которых событие (в нашем случае "промах") может произойти с одинаковой вероятностью.

Пусть "успех" — это промах. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $p_{попадание} = \frac{3}{4}$. Следовательно, вероятность промаха при одном выстреле (наш "успех") равна $p = 1 - p_{попадание} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Вероятность "неудачи" (т.е. попадания) равна $q = p_{попадание} = \frac{3}{4}$. Общее число испытаний (выстрелов) $n = 9$. Требуется найти вероятность того, что в этих 9 выстрелах будет ровно $k=3$ промаха.

Формула Бернулли для $k$ успехов в $n$ испытаниях имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ где $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Подставим наши значения: $n=9$, $k=3$, $p=\frac{1}{4}$, $q=\frac{3}{4}$. $P_9(3) = C_9^3 \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^{9-3} = C_9^3 \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^6$

Сначала вычислим число сочетаний $C_9^3$: $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Теперь подставим все значения в формулу: $P_9(3) = 84 \cdot \frac{1^3}{4^3} \cdot \frac{3^6}{4^6} = 84 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{729}{4096} = \frac{84 \cdot 729}{64 \cdot 4096}$. Сократим дробь: $\frac{84 \cdot 729}{64 \cdot 4096} = \frac{(21 \cdot 4) \cdot 729}{(16 \cdot 4) \cdot 4096} = \frac{21 \cdot 729}{16 \cdot 4096} = \frac{15309}{65536}$.

Ответ: $\frac{15309}{65536}$.

2.

Эта задача также решается по схеме Бернулли. Общее число испытаний (бросков кубика) $n=10$. "Успехом" будем считать выпадение числа, кратного трём. На игральном кубике 6 граней с числами {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Числа, кратные трём, это {3, 6}. Таких чисел 2. Вероятность "успеха" в одном броске: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Вероятность "неудачи" (выпадение числа, не кратного трём): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству выпадений числа, кратного трём, в 10 бросках.

1) не более двух раз

Требуется найти вероятность $P(X \le 2)$. Это событие означает, что число, кратное трём, выпадет 0, 1 или 2 раза. Таким образом, $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$. Воспользуемся формулой Бернулли $P_{10}(k) = C_{10}^k p^k q^{10-k}$ для $k=0, 1, 2$.

$P(X=0) = C_{10}^0 \cdot (\frac{1}{3})^0 \cdot (\frac{2}{3})^{10} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2^{10}}{3^{10}} = \frac{1024}{59049}$.

$P(X=1) = C_{10}^1 \cdot (\frac{1}{3})^1 \cdot (\frac{2}{3})^9 = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2^9}{3^9} = \frac{10 \cdot 512}{3^{10}} = \frac{5120}{59049}$.

$P(X=2) = C_{10}^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^8 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2^8}{3^8} = 45 \cdot \frac{256}{3^2 \cdot 3^8} = \frac{45 \cdot 256}{3^{10}} = \frac{11520}{59049}$.

Теперь сложим полученные вероятности: $P(X \le 2) = \frac{1024}{59049} + \frac{5120}{59049} + \frac{11520}{59049} = \frac{1024 + 5120 + 11520}{59049} = \frac{17664}{59049}$. Сократим дробь (числитель и знаменатель делятся на 3): $\frac{17664}{59049} = \frac{5888}{19683}$.

Ответ: $\frac{5888}{19683}$.

2) больше восьми раз

Требуется найти вероятность $P(X > 8)$. Это событие означает, что число, кратное трём, выпадет 9 или 10 раз. Таким образом, $P(X > 8) = P(X=9) + P(X=10)$.

$P(X=9) = C_{10}^9 \cdot (\frac{1}{3})^9 \cdot (\frac{2}{3})^{1} = 10 \cdot \frac{1}{19683} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{59049}$.

$P(X=10) = C_{10}^{10} \cdot (\frac{1}{3})^{10} \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{59049} \cdot 1 = \frac{1}{59049}$.

Суммируем вероятности: $P(X > 8) = \frac{20}{59049} + \frac{1}{59049} = \frac{21}{59049}$. Сократим дробь (числитель и знаменатель делятся на 3): $\frac{21}{59049} = \frac{7}{19683}$.

Ответ: $\frac{7}{19683}$.

3.

Случайная величина $z$ подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами: $n=5$ (число испытаний) и $p=0,2$ (вероятность "успеха" в одном испытании). Нужно найти вероятность $P(1 \le z < 3)$.

Так как $z$ является дискретной случайной величиной и может принимать только целые значения (в данном случае от 0 до 5), неравенство $1 \le z < 3$ означает, что $z$ может быть равно 1 или 2. Следовательно, нам нужно найти $P(z=1) + P(z=2)$.

Вероятность "неудачи" в одном испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$. Формула для вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях при биномиальном распределении (формула Бернулли): $P(z=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

Вычислим $P(z=1)$: $P(z=1) = C_5^1 \cdot (0,2)^1 \cdot (0,8)^{5-1} = 5 \cdot 0,2 \cdot (0,8)^4 = 1 \cdot 0,4096 = 0,4096$.

Вычислим $P(z=2)$: $P(z=2) = C_5^2 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^{5-2} = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot (0,04) \cdot (0,8)^3 = 10 \cdot 0,04 \cdot 0,512 = 0,4 \cdot 0,512 = 0,2048$.

Теперь найдём сумму этих вероятностей: $P(1 \le z < 3) = P(z=1) + P(z=2) = 0,4096 + 0,2048 = 0,6144$.

Ответ: $0,6144$.

Самостоятельная работа № 23

Характеристики случайной величины

1. В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

2. Случайная величина $x$ имеет следующее распределение вероятностей.

Значение $x$: 2, 4, 6

Вероятность, %: 25, 55, 20

Найдите:

1) математическое ожидание;

2) дисперсию;

3) стандартное отклонение;

4) среднее абсолютное отклонение.

1.

Всего в коробке находится $5 + 7 = 12$ шаров. Из коробки случайным образом вынимают 3 шара. Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству вынутых красных шаров. Возможные значения, которые может принимать $X$, это 0, 1, 2, 3.

Для нахождения математического ожидания необходимо составить закон распределения данной случайной величины, то есть найти вероятности для каждого возможного значения $X$.

Общее число способов выбрать 3 шара из 12 равно числу сочетаний $C_{12}^3$:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Теперь найдем вероятности для каждого значения $X$ по классической формуле вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n=220$, а $m$ — число благоприятных исходов:

- Вероятность $P(X=0)$ (вынуто 0 красных и 3 синих шара):
$m = C_5^0 \cdot C_7^3 = 1 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
$P(X=0) = \frac{35}{220}$.

- Вероятность $P(X=1)$ (вынут 1 красный и 2 синих шара):
$m = C_5^1 \cdot C_7^2 = 5 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 21 = 105$.
$P(X=1) = \frac{105}{220}$.

- Вероятность $P(X=2)$ (вынуто 2 красных и 1 синий шар):
$m = C_5^2 \cdot C_7^1 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$.
$P(X=2) = \frac{70}{220}$.

- Вероятность $P(X=3)$ (вынуто 3 красных и 0 синих шаров):
$m = C_5^3 \cdot C_7^0 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1 = 10$.
$P(X=3) = \frac{10}{220}$.

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 0 \cdot \frac{35}{220} + 1 \cdot \frac{105}{220} + 2 \cdot \frac{70}{220} + 3 \cdot \frac{10}{220} = \frac{0 + 105 + 140 + 30}{220} = \frac{275}{220}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{275}{220} = \frac{55}{44} = \frac{5}{4} = 1.25$.

Ответ: $1.25$.

2.

Дано распределение вероятностей случайной величины $x$. Переведем вероятности из процентов в десятичные дроби:

$p_1 = P(x=2) = 25\% = 0.25$

$p_2 = P(x=4) = 55\% = 0.55$

$p_3 = P(x=6) = 20\% = 0.20$

Проверка: $0.25 + 0.55 + 0.20 = 1$.

1) математическое ожидание;

Математическое ожидание $M(x)$ вычисляется по формуле $M(x) = \sum x_i p_i$.

$M(x) = 2 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.55 + 6 \cdot 0.20 = 0.5 + 2.2 + 1.2 = 3.9$.

Ответ: $3.9$.

2) дисперсию;

Дисперсия $D(x)$ вычисляется по формуле $D(x) = M(x^2) - (M(x))^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(x^2)$:

$M(x^2) = \sum x_i^2 p_i = 2^2 \cdot 0.25 + 4^2 \cdot 0.55 + 6^2 \cdot 0.20 = 4 \cdot 0.25 + 16 \cdot 0.55 + 36 \cdot 0.20$.

$M(x^2) = 1 + 8.8 + 7.2 = 17$.

Теперь вычислим дисперсию, используя найденное значение $M(x) = 3.9$:

$D(x) = M(x^2) - (M(x))^2 = 17 - (3.9)^2 = 17 - 15.21 = 1.79$.

Ответ: $1.79$.

3) стандартное отклонение;

Стандартное отклонение (или среднее квадратическое отклонение) $\sigma(x)$ равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(x) = \sqrt{D(x)}$.

$\sigma(x) = \sqrt{1.79} \approx 1.3379$. Округлим до сотых.

$\sigma(x) \approx 1.34$.

Ответ: $\sqrt{1.79} \approx 1.34$.

4) среднее абсолютное отклонение.

Среднее абсолютное отклонение $MAD(x)$ вычисляется по формуле $MAD(x) = \sum |x_i - M(x)| p_i$.

Используя $M(x) = 3.9$, получаем:

$MAD(x) = |2 - 3.9| \cdot 0.25 + |4 - 3.9| \cdot 0.55 + |6 - 3.9| \cdot 0.20$.

$MAD(x) = |-1.9| \cdot 0.25 + |0.1| \cdot 0.55 + |2.1| \cdot 0.20$.

$MAD(x) = 1.9 \cdot 0.25 + 0.1 \cdot 0.55 + 2.1 \cdot 0.20 = 0.475 + 0.055 + 0.420 = 0.95$.

Ответ: $0.95$.