Страница 34 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Комплексная плоскость.
Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) $6$;

2) $-5i$;

3) $4 - 4\sqrt{3}i$;

4) $\frac{3 - i}{1 + i}$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) $\text{Re } z = -3$;

2) $z\bar{z} \ge 25$;

3) $|z - i| < 4$;

4) $|z - 4| = |z + 2 - i|$.

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень n-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 5 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)$, $z_2 = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} - i\sin \frac{2\pi}{3}\right)$;

2) $z_1 = 6 \left(\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4}\right)$, $z_2 = -1 + i$.

2. Найдите значение выражения $(1 - \sqrt{3}i)^8$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = \sqrt{3} + i$.

1.

1) Даны комплексные числа $z_1 = 5(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ и $z_2 = 2(\cos\frac{2\pi}{3} - i\sin\frac{2\pi}{3})$.

Сначала приведем число $z_2$ к стандартной тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$. Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:

$z_2 = 2(\cos\frac{2\pi}{3} - i\sin\frac{2\pi}{3}) = 2(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.

Таким образом, для $z_1$ имеем модуль $r_1 = 5$ и аргумент $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Для $z_2$ имеем модуль $r_2 = 2$ и аргумент $\phi_2 = -\frac{2\pi}{3}$.

Произведение комплексных чисел:

Формула для произведения: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2))$.

$z_1 z_2 = 5 \cdot 2 (\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3})) = 10(\cos(\frac{\pi - 4\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi - 4\pi}{6})) = 10(\cos(-\frac{3\pi}{6}) + i\sin(-\frac{3\pi}{6})) = 10(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Так как $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, то:

$z_1 z_2 = 10(0 + i(-1)) = -10i$.

Частное комплексных чисел:

Формула для частного: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{2}(\cos(\frac{\pi}{6} - (-\frac{2\pi}{3})) + i\sin(\frac{\pi}{6} - (-\frac{2\pi}{3}))) = \frac{5}{2}(\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3})) = \frac{5}{2}(\cos(\frac{\pi + 4\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi + 4\pi}{6})) = \frac{5}{2}(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

Так как $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{4} + \frac{5}{4}i$.

Ответ: $z_1 z_2 = -10i$; $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{5\sqrt{3}}{4} + \frac{5}{4}i$.

2) Даны комплексные числа $z_1 = 6(\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4})$ и $z_2 = -1 + i$.

Приведем оба числа к стандартной тригонометрической форме.

Для $z_1$: $z_1 = 6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$. Здесь $r_1 = 6$, $\phi_1 = -\frac{\pi}{4}$.

Для $z_2 = -1 + i$: найдем модуль $r_2$ и аргумент $\phi_2$.

$r_2 = |z_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Точка $(-1, 1)$ находится во второй координатной четверти. Аргумент $\phi_2$ можно найти из условий $\cos\phi_2 = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Отсюда $\phi_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, $z_2 = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.

Произведение комплексных чисел:

$z_1 z_2 = 6\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4})) = 6\sqrt{2}(\cos\frac{2\pi}{4} + i\sin\frac{2\pi}{4}) = 6\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, то:

$z_1 z_2 = 6\sqrt{2}(0 + i \cdot 1) = 6\sqrt{2}i$.

Частное комплексных чисел:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{\sqrt{2}}(\cos(-\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4})) = \frac{6\sqrt{2}}{2}(\cos(-\frac{4\pi}{4}) + i\sin(-\frac{4\pi}{4})) = 3\sqrt{2}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.

Так как $\cos(-\pi) = -1$ и $\sin(-\pi) = 0$, то:

$\frac{z_1}{z_2} = 3\sqrt{2}(-1 + i \cdot 0) = -3\sqrt{2}$.

Ответ: $z_1 z_2 = 6\sqrt{2}i$; $\frac{z_1}{z_2} = -3\sqrt{2}$.

2.

Чтобы найти значение выражения $(1 - \sqrt{3}i)^8$, воспользуемся формулой Муавра: $[r(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

Сначала представим комплексное число $z = 1 - \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме.

Найдем его модуль $r$ и аргумент $\phi$.

$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Точка $(1, -\sqrt{3})$ находится в четвертой координатной четверти. Аргумент $\phi$ можно найти из условий $\cos\phi = \frac{1}{2}$ и $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Теперь возведем в 8-ю степень по формуле Муавра:

$(1 - \sqrt{3}i)^8 = [2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))]^8 = 2^8(\cos(8 \cdot (-\frac{\pi}{3})) + i\sin(8 \cdot (-\frac{\pi}{3})))$

$= 256(\cos(-\frac{8\pi}{3}) + i\sin(-\frac{8\pi}{3}))$.

Упростим аргумент, учитывая периодичность тригонометрических функций. $-\frac{8\pi}{3} = -2\pi - \frac{2\pi}{3}$.

$\cos(-\frac{8\pi}{3}) = \cos(-2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$\sin(-\frac{8\pi}{3}) = \sin(-2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения:

$(1 - \sqrt{3}i)^8 = 256(-\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 256(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128\sqrt{3}i$.

Ответ: $-128 - 128\sqrt{3}i$.

3.

Требуется найти и изобразить на комплексной плоскости корни третьей степени из числа $z = \sqrt{3} + i$.

Формула для корней n-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ имеет вид:

$w_k = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n})$, где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$.

Сначала представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме.

Модуль $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Точка $(\sqrt{3}, 1)$ находится в первой координатной четверти. Аргумент $\phi$ находим из условий $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\phi = \frac{1}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Находим корни третьей степени ($n=3$):

$w_k = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3})$, где $k=0, 1, 2$.

При $k=0$:

$w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi/6}{3} + i\sin\frac{\pi/6}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{18} + i\sin\frac{\pi}{18})$.

При $k=1$:

$w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi/6 + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/6 + 2\pi}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi/6}{3} + i\sin\frac{13\pi/6}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{18} + i\sin\frac{13\pi}{18})$.

При $k=2$:

$w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi/6 + 4\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/6 + 4\pi}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{25\pi/6}{3} + i\sin\frac{25\pi/6}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{25\pi}{18} + i\sin\frac{25\pi}{18})$.

Эти три корня являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$. Аргументы корней: $\frac{\pi}{18}$, $\frac{13\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$.

Изображение на комплексной плоскости:

Ответ: Корнями являются числа $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{18} + i\sin\frac{\pi}{18})$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{18} + i\sin\frac{13\pi}{18})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{25\pi}{18} + i\sin\frac{25\pi}{18})$. На комплексной плоскости они расположены в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[3]{2}$ с центром в начале координат.

Самостоятельная работа № 16

Решение алгебраических уравнений

на множестве комплексных чисел

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 4z + 5 = 0$;

2) $z^2 - (3 - i)z + 4 = 0$;

3) $z^2 + 2z - 11 - 5i = 0$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 - 2z^2 + 25z - 50 = 0$;

2) $z^4 + 9i = 0$.

3. Корнями уравнения $x^3 - 5x^2 + 2x - 2 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $3x_1, 3x_2$ и $3x_3$.

1. Решите уравнение:

1) $z^2 + 4z + 5 = 0$
Это квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения являются комплексно-сопряженными числами.
$\sqrt{D} = \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = 2i$.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_{1,2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$.
Ответ: $z_1 = -2 + i$, $z_2 = -2 - i$.

2) $z^2 - (3 - i)z + 4 = 0$
Это квадратное уравнение с комплексными коэффициентами. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-(3 - i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (3 - i)^2 - 16$.
$(3 - i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$.
$D = (8 - 6i) - 16 = -8 - 6i$.
Теперь необходимо найти квадратный корень из дискриминанта. Пусть $\sqrt{-8 - 6i} = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$.
$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -8 - 6i$.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = -6 \end{cases}$
Из второго уравнения $y = -3/x$. Подставляем в первое:
$x^2 - (-\frac{3}{x})^2 = -8 \Rightarrow x^2 - \frac{9}{x^2} = -8$.
$x^4 + 8x^2 - 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, $t \ge 0$.
$t^2 + 8t - 9 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -9$. Так как $t$ не может быть отрицательным, подходит только $t = 1$.
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Если $x = 1$, то $y = -3/1 = -3$.
Если $x = -1$, то $y = -3/(-1) = 3$.
Таким образом, $\sqrt{-8 - 6i} = \pm(1 - 3i)$.
Найдем корни уравнения $z$ по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_{1,2} = \frac{3 - i \pm (1 - 3i)}{2}$.
$z_1 = \frac{3 - i + 1 - 3i}{2} = \frac{4 - 4i}{2} = 2 - 2i$.
$z_2 = \frac{3 - i - (1 - 3i)}{2} = \frac{3 - i - 1 + 3i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$.
Ответ: $z_1 = 2 - 2i$, $z_2 = 1 + i$.

3) $z^2 + 2z - 11 - 5i = 0$
Выделим полный квадрат в левой части уравнения:
$(z^2 + 2z + 1) - 1 - 11 - 5i = 0$.
$(z + 1)^2 = 12 + 5i$.
Найдем $\sqrt{12 + 5i}$. Пусть $\sqrt{12 + 5i} = x + yi$. Тогда $(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 12 + 5i$.
Получаем систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ 2xy = 5 \end{cases}$.
Из второго уравнения $y = \frac{5}{2x}$. Подставляем в первое:
$x^2 - (\frac{5}{2x})^2 = 12 \Rightarrow x^2 - \frac{25}{4x^2} = 12$.
$4x^4 - 48x^2 - 25 = 0$.
Пусть $t = x^2$, $t \ge 0$. Уравнение примет вид $4t^2 - 48t - 25 = 0$.
Дискриминант для $t$: $D_t = (-48)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 2304 + 400 = 2704 = 52^2$.
$t = \frac{48 \pm 52}{8}$. Корни $t_1 = \frac{100}{8} = \frac{25}{2}$ и $t_2 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$. Подходит $t = \frac{25}{2}$.
$x^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Если $x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{5}{2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\sqrt{12 + 5i} = \pm(\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Возвращаемся к уравнению $(z + 1)^2 = 12 + 5i$:
$z + 1 = \pm(\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.
$z = -1 \pm (\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $z_1 = -1 + \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $z_2 = -1 - \frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 - 2z^2 + 25z - 50 = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(z^3 - 2z^2) + (25z - 50) = 0$.
$z^2(z - 2) + 25(z - 2) = 0$.
$(z^2 + 25)(z - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$z - 2 = 0 \Rightarrow z_1 = 2$.
$z^2 + 25 = 0 \Rightarrow z^2 = -25 \Rightarrow z = \pm\sqrt{-25} = \pm 5i$.
Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = 5i$, $z_3 = -5i$.

2) $z^4 + 9i = 0$
Перепишем уравнение в виде $z^4 = -9i$.
Для решения найдем корни 4-й степени из комплексного числа $-9i$.
Представим $-9i$ в тригонометрической форме $r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
Модуль $r = |-9i| = 9$.
Аргумент $\theta = -\frac{\pi}{2}$.
$-9i = 9(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Корни $z_k$ находятся по формуле Муавра:
$z_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\theta+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.
В нашем случае $n=4, r=9, \theta = -\frac{\pi}{2}$.
$\sqrt[4]{r} = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$.
Аргументы корней: $\phi_k = \frac{-\pi/2 + 2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
Подставляя $k = 0, 1, 2, 3$, получаем четыре корня:
$k=0: z_0 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{\pi}{8}))$.
$k=1: z_1 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2})) = \sqrt{3}(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8})$.
$k=2: z_2 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \pi) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \pi)) = \sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{8} + i\sin\frac{7\pi}{8})$.
$k=3: z_3 = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2})) = \sqrt{3}(\cos\frac{11\pi}{8} + i\sin\frac{11\pi}{8})$.
Ответ: $z_k = \sqrt{3}(\cos(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}))$ для $k=0, 1, 2, 3$.

3. Корнями уравнения $x^3 - 5x^2 + 2x - 2 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $3x_1, 3x_2$ и $3x_3$.

Пусть дано уравнение $P(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 2 = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$.
Мы ищем новое кубическое уравнение $Q(y)=0$, корнями которого являются $y_1=3x_1, y_2=3x_2, y_3=3x_3$.
Если $y$ - корень нового уравнения, то $y=3x$, где $x$ - корень исходного уравнения.
Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{3}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\frac{y}{3})^3 - 5(\frac{y}{3})^2 + 2(\frac{y}{3}) - 2 = 0$.
Раскроем скобки:
$\frac{y^3}{27} - \frac{5y^2}{9} + \frac{2y}{3} - 2 = 0$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 27:
$27 \cdot (\frac{y^3}{27}) - 27 \cdot (\frac{5y^2}{9}) + 27 \cdot (\frac{2y}{3}) - 27 \cdot 2 = 0$.
$y^3 - 3 \cdot 5y^2 + 9 \cdot 2y - 54 = 0$.
$y^3 - 15y^2 + 18y - 54 = 0$.
Это и есть искомое кубическое уравнение.
Ответ: $y^3 - 15y^2 + 18y - 54 = 0$.